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Apótema

O segmento de um polígono que une o centro ao ponto médio de um dos lados é chamado de apótema. Esse segmento forma um ângulo reto com o lado do polígono.

Ilustração mostra um círculo, que possui o segmento do apótema delimitado, inscrito em um triângulo.
O segmento OM é um apótema do triângulo equilátero ABC. O ângulo OMC mede 90°.
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O apótema de um polígono é um segmento com extremidades no centro do polígono e no ponto médio de um dos lados. Esse segmento forma um ângulo de 90° com o respectivo lado do polígono.

Para calcular a medida do apótema, é necessário considerar as características do polígono em questão. Dependendo da forma geométrica, é possível construir uma fórmula para obter essa medida. Uma observação importante é que a medida do apótema de um polígono regular é igual à medida do raio da circunferência inscrita no polígono.

Leia também: O que é a bissetriz?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre o apótema

  • O apótema é o segmento de um polígono que liga o centro (ponto de encontro das mediatrizes) ao ponto médio de um dos lados.

  • O ângulo entre o apótema e o respectivo lado do polígono mede 90°.

  • A medida do apótema de um polígono regular é igual à medida do raio da circunferência inscrita no polígono.

  • O apótema OM de um triângulo equilátero de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • O apótema OM de um quadrado de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l}2\)

  • O apótema OM de um hexágono regular de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

  • O apótema de uma pirâmide é o segmento que une o vértice ao ponto médio de uma das arestas da base, e sua medida pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras.

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Exemplos de apótema

Para encontrar o apótema de um polígono, devemos construir o segmento de reta que une o centro do polígono com o ponto médio de um dos lados. Lembre-se de que o centro de um polígono é o ponto de encontro das mediatrizes.

Apótema do triangulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágono regular, respectivamente.
Apótema do triangulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágono regular, respectivamente.

Nesses exemplos, o apótema foi considerado em polígonos no plano. Entretanto, existe um objeto espacial que possui um tipo diferente de apótema: a pirâmide.

Em uma pirâmide, há dois tipos de apótema: o apótema da base, que é o apótema do polígono que forma a base da pirâmide, e o apótema da pirâmide, que é o segmento que une o vértice ao ponto médio de uma aresta da base (ou seja, é a altura de uma face lateral da pirâmide).

No exemplo de base quadrada abaixo, o segmento OM é o apótema da base e o segmento VM é o apótema da pirâmide, sendo M o ponto médio de BC.

Pirâmide de base quadrada
Pirâmide de base quadrada

Quais as fórmulas do apótema?

Conhecendo as características de um polígono, em especial dos polígonos regulares, podemos desenvolver fórmulas para o cálculo da medida do apótema. Vejamos quais são essas fórmulas para os principais polígonos regulares.

  • Fórmula do apótema do triângulo equilátero

No caso do triângulo equilátero, a altura e a mediana relativas a um determinado lado são coincidentes. Isso significa que o centro do polígono coincide com o baricentro do triângulo. Assim, o ponto O divide a altura AM da seguinte forma:

\(AO = \frac{2}3 AM\) e \(OM=\frac{1}3 AM\)

Triângulo equilátero ABC, na cor roxa.

Lembre-se de que a medida da altura de um triângulo equilátero de lado l é dada por:

\(Altura\ triângulo\ equilátero=\frac{l\sqrt3}2\)

Portanto, como a AM é altura do triângulo equilátero ABC e o segmento OM é o apótema do triângulo, podemos elaborar a seguinte expressão para a medida de OM, considerando que o lado do triângulo mede l:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • Fórmula do apótema do quadrado

No caso do quadrado, a medida do apótema corresponde à metade do comprimento do lado. Assim, se O é o centro do quadrado, M é o ponto médio de um dos lados e l é a medida do lado do quadrado, então a fórmula do apótema OM é

\(OM=\frac{l}2\)

  • Fórmula do apótema do hexágono regular

No hexágono regular, o apótema corresponde à altura de um triângulo equilátero com vértices em duas extremidades de um dos lados e no centro do polígono. No exemplo abaixo, o apótema OM do hexágono regular é a altura do triângulo equilátero OCD, em que M é o ponto médio de CD.

Hexágono regular na cor verde e com segmento do apótema delimitado.

Como comentamos antes, a altura de um triângulo equilátero é conhecida. Assim, se o lado do hexágono regular mede l, então a fórmula do apótema OM é

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

  • Fórmula do apótema da pirâmide

A medida do apótema da pirâmide pode ser obtida com o auxílio do teorema de Pitágoras. No exemplo abaixo, em uma pirâmide quadrada, o triângulo VOM é retângulo, com catetos VO e OM e hipotenusa VM. Perceba que VO é a altura da pirâmide, OM é o apótema da base e VM é o apótema da pirâmide.

Pirâmide de base quadrada com segmento do apótema delimitado.
Pirâmide de base quadrada

Assim, para determinar a medida do apótema da pirâmide, devemos aplicar o teorema de Pitágoras:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

Cuidado! VM é a altura de um triângulo isósceles, não de um triângulo equilátero. Assim, nesse caso, não podemos utilizar a fórmula da altura de um triângulo equilátero.

Como se calcula o apótema?

Para calcular o apótema de um polígono ou da pirâmide, podemos utilizar as fórmulas construídas ou associar o apótema ao raio da circunferência inscrita.

  • Exemplo 1: Considere que uma circunferência de raio 3 cm está inscrita em um triângulo equilátero. Qual a medida do apótema desse triângulo?

Como o apótema de um polígono possui a mesma medida que o raio da circunferência inscrita, o apótema do triângulo mede 3 cm.

  • Exemplo 2: Qual a medida do apótema de um hexágono regular com 4 cm de lado?

Utilizando a fórmula para o apótema de um hexágono regular com \(l=4 \) cm, temos que

\(Medida\ do\ apótema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

Leia também: Tudo sobre os pontos notáveis de um triângulo

Exercícios resolvidos sobre o apótema

Questão 1

Se uma pirâmide com 4 cm de altura possui um apótema da base com 3 cm, então a medida do apótema da pirâmide é

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 9 cm

Resolução:

Em uma pirâmide, podemos construir um triângulo retângulo em que um cateto é o apótema da base, o outro cateto é a altura da pirâmide e a hipotenusa é o apótema da pirâmide. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras para hipotenusa de medida x,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ cm\)

Alternativa A.

Questão 2

Se o apótema de um quadrado mede y cm, então o lado do quadrado mede

a) \(\frac{1}3y \) cm

b) \(\frac{1}2y \) cm

c) y cm

d) 2y cm

e) 3y cm

Resolução

O apótema de um quadrado possui metade da medida do lado do quadrado. Portanto, se o apótema mede y cm, o quadrado mede 2y cm.

Alternativa D.

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apótema"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Acesso em 21 de maio de 2024.

De estudante para estudante


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