Regra de Cramer

A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer.

Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema linear.

Leia também: Regra de Sarrus — calculando o determinante de matrizes quadradas de ordem 3

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre regra de Cramer
• 2 - Videoaula sobre a regra de Cramer
• 3 - O que é a regra de Cramer?
• 4 - Regra de Cramer em um sistema 2x2
• 5 - Regra de Cramer para um sistema 3x3
• 6 - Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Resumo sobre regra de Cramer

• A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.

• Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:

D, D_x, D_y e D_z são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

Videoaula sobre a regra de Cramer

O que é a regra de Cramer?

A regra de Cramer foi uma estratégia desenvolvida pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de sistema linear 3x3.

A regra de Cramer determina que:

D, D_x, D_y e D_z são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

• D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;

• D_x → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

• D_y → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

• D_z → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.

Para aplicar a regra de Cramer, é necessário retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o determinante.

A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.

Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, D_x terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d₁, d₂ e d₃. Em D_y e D_z, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:

Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis.

Observação: Como vamos calcular a razão entre os determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui infinitas soluções.

Leia também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

Regra de Cramer em um sistema 2x2

Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2.

Exemplo:

Resolução:

Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, D_x e D_y.

Calculando o determinante, temos que:

D = 2 · 2 – 4 · 3

D = 4 – 12

D = – 8

Agora, calcularemos D_x:

D_x = 7 · 2 – 10 · 3

D_x = 14 – 30

D_x = – 16

Calcularemos também D_y:

D_y = 2 · 10 – 7 · 4

D_y = 20 – 28

D_y = – 8

Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:

Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são x = 2 e y = 1.

Regra de Cramer para um sistema 3x3

Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3.

Exemplo:

Resolução:

Primeiramente, calcularemos o valor de D:

D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]

D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]

D = – 5 – 10

D = – 15

Agora, calcularemos o valor de D_x:

D_x = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]

D_x = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]

D_x = – 84 + 9

D_x = – 75

Calculando D_y:

D_y = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]

D_y = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]

D_y = 88 – 133

D_y = – 45

Calculando D_z:

D_z = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10

D_z = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]

D_z = – 53 +38

D_z = – 15

Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:

Leia também: Multiplicação de matrizes — passo a passo de como efetuar

Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Questão 1

Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a:

A) 8.
B) 9.
C) 10.
D) 11.
E) 12.

Resolução:

Alternativa B

Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos o seguinte sistema:

Aplicando a regra de Cramer, temos que:

D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Agora, calcularemos D_x:

D_x = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = − 140

Calculando D_y:

D_y = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84

Calculando D_z:

D_z = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Então, calculando x, y e z, temos que:

Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9.

Questão 2

Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3 taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de:

A) R$ 1,50.
B) R$ 3,00.
C) R$ 4,50.
D) R$ 5,00.
E) R$ 6,50.

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações.

x→ preço do copo

y → preço da taça

De acordo com o enunciado, temos que:

4x + 3y = 15

2x + y = 6

Aplicando a regra de Cramer:

D = 4 · 1 – 2 · 3

D = 4 – 6

D = – 2

Calculando D_x:

D_x = 15 · 1 – 3 · 6

D_x = 15 – 18

D_x = – 3

Calculando D_y:

D_y = 4 · 6 – 15 · 2

D_y = 24 – 30

D_y= – 6

Dessa forma, temos que:

Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática