Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Regra de Cramer

Matemática

Regra de Cramer é um método desenvolvido para encontrar as soluções de sistemas lineares com a utilização do cálculo do determinante de matrizes.
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares.
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares.
PUBLICIDADE

A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer.

Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema linear.

Leia também: Regra de Sarrus — calculando o determinante de matrizes quadradas de ordem 3

Resumo sobre regra de Cramer

  • A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.

  • Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:

Expressão matemática da regra de Cramer

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

Videoaula sobre a regra de Cramer

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O que é a regra de Cramer?

A regra de Cramer foi desenvolvida pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de sistema linear 3x3.

Exemplo algébrico de sistema linear 3x3

A regra de Cramer determina que:

Expressão matemática da regra de Cramer

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

  • D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;

  • Dx → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

  • Dy → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

  • Dz → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.

Para aplicar a regra de Cramer, é necessário retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o determinante.

A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.

Matriz formada pelos coeficientes x, y e z

Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:

Representação das matrizes Dx, Dy e Dz para cálculo de determinante

Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis.

Observação: Como vamos calcular a razão entre os determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui infinitas soluções.

Leia também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

Regra de Cramer em um sistema 2x2

Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2.

Exemplo:

Sistema linear 2x2

Resolução:

Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy.

Cálculo de valor de Dx em sistema linear 2x2

Calculando o determinante, temos que:

D = 2 · 2 – 4 · 3

D = 4 – 12

D = – 8

Agora, calcularemos Dx:

Cálculo de valor de Dx em sistema linear 2x2

Dx = 7 · 2 – 10 · 3

Dx = 14 – 30

Dx = – 16

Calcularemos também Dy:

Cálculo de valor de Dy em sistema linear 2x2

Dy = 2 · 10 – 7 · 4

Dy = 20 – 28

Dy = – 8

Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:

Cálculo de valor de x e y para resolver sistema linear 2x2

Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são x = 2 e y = 1.

Regra de Cramer para um sistema 3x3

Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3.

Exemplo:

Sistema de equação 3x3

Resolução:

Primeiramente, calcularemos o valor de D:

Cálculo de valor de D em sistema linear 3x3

D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]

D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]

D = – 5 – 10

D = – 15

Agora, calcularemos o valor de Dx:

Cálculo de valor de Dx em sistema linear 3x3

Dx = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]

Dx = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]

Dx = – 84 + 9

Dx = – 75

Calculando Dy:

calculo-valor-dy-sistema-linear-3x3

Dy = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]

Dy = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]

Dy = 88 – 133

Dy = – 45

Calculando Dz:

Cálculo de valor de Dz em sistema linear 3x3

Dz = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10

Dz = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]

Dz = – 53 +38

Dz = – 15

Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:

Cálculo de valores de x, y e z para resolver sistema linear 3x3

Leia também: Multiplicação de matrizes — passo a passo de como efetuar

Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Questão 1

Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Equipe

Ouro

Prata

Bronze

Pontuação

Equipe Pequi

5

5

3

43

Equipe Ipê

5

4

7

44

Equipe Caju

4

5

4

39

Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a:

A) 8.
B) 9.
C) 10.
D) 11.
E) 12.

Resolução:

Alternativa B

Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos o seguinte sistema:

Sistema linear 3x3

Aplicando a regra de Cramer, temos que:

Cálculo de valor de D em sistema linear 3x3

D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Agora, calcularemos Dx:

Cálculo de valor de Dx em sistema linear 3x3

Dx = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = − 140

Calculando Dy:

Cálculo de valor de Dy em sistema linear 3x3

Dy = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84

Calculando Dz:

Cálculo de valor de Dz em sistema linear 3x3

Dz = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Então, calculando x, y e z, temos que:

Cálculo de valor de x, y e z para resolver sistema linear 3x3

Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9.

Questão 2

Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3 taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de:

A) R$ 1,50.
B) R$ 3,00.
C) R$ 4,50.
D) R$ 5,00.
E) R$ 6,50.

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações.

x→ preço do copo

y → preço da taça

De acordo com o enunciado, temos que:

4x + 3y = 15

2x + y = 6

Aplicando a regra de Cramer:

Cálculo de valor de D em sistema linear 2x2

D = 4 · 1 – 2 · 3

D = 4 – 6

D = – 2

Calculando Dx:

Cálculo de valor de Dx em sistema linear 2x2

Dx = 15 · 1 – 3 · 6

Dx = 15 – 18

Dx = – 3

Calculando Dy:

Cálculo de valor de Dy em sistema linear 2x2

Dy = 4 · 6 – 15 · 2

Dy = 24 – 30

Dy= – 6

Dessa forma, temos que:

Cálculo de valor de x e y para resolver sistema linear 2x2

Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Regra de Cramer"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm. Acesso em 24 de janeiro de 2022.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações 

 ,  possui a seguinte representação matricial:

O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes numéricos das incógnitas.

Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no cálculo das incógnitas do sistema. 

Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações 

 , utilizando a Regra de Cramer. 

 

Questão 2

Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações lineares: 

Mais Questões
Artigos Relacionados
Saiba como calcular os determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Aprenda como utilizar a regra de Sarrus. Conheça as propriedades dos determinantes.
Entenda aqui as definições e formalizações da estrutura das matrizes. Veja também como operar seus elementos e os diferentes tipos de matrizes.
Entenda o que é uma matriz transposta. Conheça as propriedades de uma matriz transposta. Aprenda a encontrar a matriz transposta de uma determinada matriz.
Aprenda a reconhecer e classificar uma matriz triangular. Veja ainda suas propriedades e exercícios resolvidos sobre o tema.
Você conhece a Regra de Sarrus? Aprenda a utilizar esse método para encontrar o determinante de matrizes 3x3.
Aprenda o que são sistemas lineares, conheça os principais métodos de resolução de sistema linear, e aprenda a classificar um sistema linear.
Aprenda o que é o teorema de Binet. Entenda como utilizar o teorema de Binet. Aplique o teorema de Binet para calcular o determinante de uma matriz produto.