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Teorema de Binet

Matemática

Para proporcionar maior rapidez e facilidade nos cálculos de determinantes referentes a matrizes-produto, veremos o teorema de Binet, que nos mostra uma relação entre os determinantes de forma que nos economiza o tempo de encontrar a matriz-produto.
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Nas operações entre matrizes, sabemos que a multiplicação de matrizes é um processo longo e trabalhoso. Sendo assim, conheceremos hoje um teorema que evita ter que encontrar a matriz-produto para calcular o seu determinante, e no qual se pode usar o determinante de cada matriz em separado.

Para isso, enunciaremos o teorema de Binet e veremos como ocorre a sua aplicação no cálculo de determinantes.

“Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, dessa forma, temos que det(AB)=(det A).(det B).”

Ou seja, ao invés de encontrar a matriz-produto e depois calcular seu determinante, é possível calcular o determinante de cada matriz e multiplicá-los.

Vejamos um exemplo para compreendermos o quão árduo seria o trabalho se não existisse o teorema de Binet.

Exemplo 1:

Exemplo de matrizes

Caso não tivéssemos o teorema de Binet, deveríamos fazer o seguinte processo para calcular o det (A.B).

1. Encontrar a matriz-produto (A.B).

Matriz-produto

 

2. Calcular o determinante da matriz-produto.

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Se você não tivesse uma calculadora para fazer essas multiplicações com números grandes, seria complicado, não é?

Veja o cálculo do mesmo determinante, porém utilizando o teorema de Binet.

Primeiro vamos encontrar o determinante de cada matriz, separadamente:



Como vimos, pelo teorema de Binet, det(AB)=(det A).(det B):



Exemplo 2:



Faremos novamente os cálculos utilizando os dois procedimentos:

Trata-se realmente de um processo bem mais fácil e prático em relação ao anterior, afinal poupa o trabalho de ter que encontrar a matriz-produto, que é um processo longo e trabalhoso. Além disso, o determinante da matriz-produto, na maioria das vezes, tem produto de números grandes, o que ocasiona um trabalhoso cálculo de multiplicação e adição de vários números.
 

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
 

Matriz e determinante - Matemática -   Brasil Escola 

 

Jacques Philippe Marie Binet, responsável pelo teorema de Binet
Jacques Philippe Marie Binet, responsável pelo teorema de Binet

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Teorema de Binet"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm. Acesso em 22 de setembro de 2019.

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