Raiz quadrada aproximada

Uma raiz quadrada aproximada é uma representação finita de um número irracional. Em muitos casos, quando trabalhamos com raízes quadradas, uma estimativa com algumas casas decimais já é suficiente para nossos cálculos.

A calculadora é uma importante ferramenta nesse processo. Seu visor, que possui um espaço limitado, indica uma boa aproximação para raízes quadradas não exatas. Mas também é possível encontrar essas estimativas sem o auxílio de uma calculadora, como veremos a seguir.

Leia também: Radiciação — tudo sobre a operação inversa da potenciação

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre raiz quadrada aproximada
• 2 - Videoaula sobre raiz quadrada aproximada
• 3 - Como se calcula a raiz quadrada aproximada?
• 4 - Diferenças entre a raiz quadrada aproximada e a raiz quadrada exata
• 5 - Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Resumo sobre raiz quadrada aproximada

• Uma raiz quadrada não exata é um número irracional.

• Podemos encontrar valores aproximados para raízes quadradas não exatas.

• A precisão da aproximação depende do número de casas decimais utilizadas.

• A aproximação pode ser feita de diferentes maneiras, inclusive com o auxílio da calculadora.

• Encontrar uma aproximação y para a raiz quadrada de x significa que y² é muito próximo de x, mas y² não é igual a x.

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Como se calcula a raiz quadrada aproximada?

Existem diferentes formas para calcular a aproximação de uma raiz quadrada. Uma delas é a calculadora! Por exemplo, quando escrevemos \(\sqrt{2}\) na calculadora e clicamos em =, o número resultante é uma aproximação. O mesmo acontece com \(\sqrt{3}\) e \(\sqrt{5}\), que também são raízes quadradas não exatas, ou seja, são números irracionais.

Outra forma é utilizar raízes exatas próximas da raiz não exata estudada. Isso permite comparar as representações decimais e encontrar um intervalo para a raiz não exata. Assim, podemos testar alguns valores até encontrar uma boa aproximação.

Parece difícil, mas não se preocupe: é um processo de testes. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para \(\mathbf{\sqrt{5}}\).

Perceba que \(\sqrt{4}\) e \(\sqrt{9}\) são as raízes exatas mais próximas de \(\sqrt{5}\). Lembre-se que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada. Assim, podemos concluir que

\(\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}\)

\(2<\sqrt5<3\)

Ou seja, \(\sqrt5\) é um número entre 2 e 3.

Agora é o momento da testagem: escolhemos alguns valores entre 2 e 3 e verificamos se cada número ao quadrado se aproxima de 5. (Lembre-se que \(\sqrt5=a\) se \(a^2=5\)).

Por uma questão de simplificação, vamos começar com números com uma casa decimal:

\(2,1^2=4,41\)

\(2,2^2=4,84\)

\(2,3^2=5,29\)

Observe que nem precisamos continuar a analisar números com uma casa decimal: o número procurado está entre 2,2 e 2,3.

\(2,2<\sqrt5<2,3\)

Agora, como buscamos uma aproximação com duas casas decimais, vamos prosseguir com os testes:

\(2,21^2=4,8841\)

\(2,22^2=4,9284\)

\(2,23^2=4,9729\)

\(2,24^2=5,0176\)

Novamente, podemos parar a análise. O número procurado está entre 2,23 e 2,24.

\(2,23<\sqrt5<2,24\)

Mas, e agora? Qual desses valores com duas casas decimais escolhemos como aproximação de \(\sqrt5\)? Os dois são boas opções, porém observe que o melhor é aquele cujo quadrado mais se aproxima de 5:

\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)

\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)

Ou seja, \(2,24^2 \) está mais próximo de 5 do que \(2,23^2\).

Assim, a melhor aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt5\) é 2,24. Escrevemos que \(\sqrt5≈2,24\).

2. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para \(\mathbf{\sqrt{20}}\).

Poderíamos iniciar da mesma maneira que no exemplo anterior, ou seja, buscar raízes exatas cujos radicandos sejam próximos de 20, mas observe que é possível diminuir o valor do radicando e facilitar as contas:

\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)

Note que realizamos a decomposição do radicando 20 e utilizamos uma propriedade de radiciação.

Agora, como \(\sqrt20=2\sqrt5\), podemos utilizar a aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt5\) do exemplo anterior:

\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)

\(\sqrt{20} ≈4,48\)

Observação: Como utilizamos um número já aproximado (\(\sqrt5≈2,24\)), o valor 4,48 pode não ser a melhor aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt{20}\).

Leia também: Como calcular a raiz cúbica de um número?

Diferenças entre a raiz quadrada aproximada e a raiz quadrada exata

Uma raiz quadrada exata é um número racional. Perceba que \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) e \(\sqrt{121}\) são exemplos de raízes quadradas exatas, pois \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) e \(\sqrt{121}=11\). Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos o radicando. Nos exemplos anteriores, temos que \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) e \(11^2=121\).

Uma raiz quadrada não exata é um número irracional (ou seja, um número com infinitas casas decimais não periódicas). Assim, utilizamos aproximações em sua representação decimal. Perceba que \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) e \(\sqrt6\) são exemplos de raízes não exatas, pois \(\sqrt2≈1,4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) e \(\sqrt6≈2,44949\). Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos um valor próximo ao radicando, porém não igual. Nos exemplos anteriores, temos que \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) e \(2,44949^2=6,00000126\).

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Organize os seguintes números em ordem crescente: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).

Resolução

Perceba que \(\sqrt{150}\) é uma raiz quadrada não exata e \(\sqrt{144}\) é exata (\(\sqrt{144}=12\)). Assim, precisamos apenas identificar a posição de \(\sqrt{150}\).

Note que \(13=\sqrt{169}\). Considerando que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada, temos que

\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)

Portanto, organizando os números em ordem crescente, temos

\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)

Questão 2

Entre as alternativas a seguir, qual é a melhor aproximação com uma casa decimal para o número \(\sqrt{54}\)?

a) 6,8

b) 7,1

c) 7,3

d) 7,8

e) 8,1

Resolução

Alternativa C

Observe que \(\sqrt{49}\) e \(\sqrt{64}\) são as raízes quadradas exatas mais próximas de \(\sqrt{54}\). Como \(\sqrt{49}=7\) e \(\sqrt{64}=8\), temos que

\(7<\sqrt{54} <8\)

Vejamos algumas possibilidades de aproximação com uma casa decimal para \(\sqrt{54}\):

\(7,1^2=50,41\)

\(7,2^2=51,84\)

\(7,3^2=53,29\)

\(7,4^2=54,76\)

Perceba que não é necessário continuar com os testes. Além disso, entre as alternativas, 7,3 é a melhor aproximação com uma casa decimal para \(\sqrt{54}\).

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática