Raiz quadrada aproximada

Uma raiz quadrada aproximada é uma representação finita de um número irracional. Em muitos casos, quando trabalhamos com raízes quadradas, uma estimativa com algumas casas decimais já é suficiente para nossos cálculos.

A calculadora é uma importante ferramenta nesse processo. Seu visor, que possui um espaço limitado, indica uma boa aproximação para raízes quadradas não exatas. Mas também é possível encontrar essas estimativas sem o auxílio de uma calculadora, como veremos a seguir.

Leia também: Radiciação — tudo sobre a operação inversa da potenciação

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre raiz quadrada aproximada
• 2 - Videoaula sobre raiz quadrada aproximada
• 3 - Como se calcula a raiz quadrada aproximada?
• 4 - Diferenças entre a raiz quadrada aproximada e a raiz quadrada exata
• 5 - Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

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Resumo sobre raiz quadrada aproximada

• Uma raiz quadrada não exata é um número irracional.

• Podemos encontrar valores aproximados para raízes quadradas não exatas.

• A precisão da aproximação depende do número de casas decimais utilizadas.

• A aproximação pode ser feita de diferentes maneiras, inclusive com o auxílio da calculadora.

• Encontrar uma aproximação y para a raiz quadrada de x significa que y² é muito próximo de x, mas y² não é igual a x.

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Como se calcula a raiz quadrada aproximada?

Existem diferentes formas para calcular a aproximação de uma raiz quadrada. Uma delas é a calculadora! Por exemplo, quando escrevemos $\sqrt{2}$ na calculadora e clicamos em =, o número resultante é uma aproximação. O mesmo acontece com $\sqrt{3}$ e $\sqrt{5}$, que também são raízes quadradas não exatas, ou seja, são números irracionais.

Outra forma é utilizar raízes exatas próximas da raiz não exata estudada. Isso permite comparar as representações decimais e encontrar um intervalo para a raiz não exata. Assim, podemos testar alguns valores até encontrar uma boa aproximação.

Parece difícil, mas não se preocupe: é um processo de testes. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para $\mathbf{\sqrt{5}}$.

Perceba que $\sqrt{4}$ e $\sqrt{9}$ são as raízes exatas mais próximas de $\sqrt{5}$. Lembre-se que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada. Assim, podemos concluir que

$\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$

$2<\sqrt5<3$

Ou seja, $\sqrt5$ é um número entre 2 e 3.

Agora é o momento da testagem: escolhemos alguns valores entre 2 e 3 e verificamos se cada número ao quadrado se aproxima de 5. (Lembre-se que $\sqrt5=a$ se $a^2=5$).

Por uma questão de simplificação, vamos começar com números com uma casa decimal:

$2,1^2=4,41$

$2,2^2=4,84$

$2,3^2=5,29$

Observe que nem precisamos continuar a analisar números com uma casa decimal: o número procurado está entre 2,2 e 2,3.

$2,2<\sqrt5<2,3$

Agora, como buscamos uma aproximação com duas casas decimais, vamos prosseguir com os testes:

$2,21^2=4,8841$

$2,22^2=4,9284$

$2,23^2=4,9729$

$2,24^2=5,0176$

Novamente, podemos parar a análise. O número procurado está entre 2,23 e 2,24.

$2,23<\sqrt5<2,24$

Mas, e agora? Qual desses valores com duas casas decimais escolhemos como aproximação de $\sqrt5$? Os dois são boas opções, porém observe que o melhor é aquele cujo quadrado mais se aproxima de 5:

$5–2,23^2=5-4,9729=0,0271$

$2,24^2-5=5,0176-5=0,0176$

Ou seja, $2,24^2$ está mais próximo de 5 do que $2,23^2$.

Assim, a melhor aproximação com duas casas decimais para $\sqrt5$ é 2,24. Escrevemos que $\sqrt5≈2,24$.

2. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para $\mathbf{\sqrt{20}}$.

Poderíamos iniciar da mesma maneira que no exemplo anterior, ou seja, buscar raízes exatas cujos radicandos sejam próximos de 20, mas observe que é possível diminuir o valor do radicando e facilitar as contas:

$\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5$

Note que realizamos a decomposição do radicando 20 e utilizamos uma propriedade de radiciação.

Agora, como $\sqrt20=2\sqrt5$, podemos utilizar a aproximação com duas casas decimais para $\sqrt5$ do exemplo anterior:

$\sqrt{20} ≈2.2,24$

$\sqrt{20} ≈4,48$

Observação: Como utilizamos um número já aproximado ($\sqrt5≈2,24$), o valor 4,48 pode não ser a melhor aproximação com duas casas decimais para $\sqrt{20}$.

Leia também: Como calcular a raiz cúbica de um número?

Diferenças entre a raiz quadrada aproximada e a raiz quadrada exata

Uma raiz quadrada exata é um número racional. Perceba que $\sqrt9$,$\sqrt{0,16}$ e $\sqrt{121}$ são exemplos de raízes quadradas exatas, pois $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{0,16}=0,4$ e $\sqrt{121}=11$. Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos o radicando. Nos exemplos anteriores, temos que $3^2=9$, $0,4^2=0,16$ e $11^2=121$.

Uma raiz quadrada não exata é um número irracional (ou seja, um número com infinitas casas decimais não periódicas). Assim, utilizamos aproximações em sua representação decimal. Perceba que $\sqrt2$, $\sqrt3$ e $\sqrt6$ são exemplos de raízes não exatas, pois $\sqrt2≈1,4142135$, $\sqrt3≈1,7320508$ e $\sqrt6≈2,44949$. Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos um valor próximo ao radicando, porém não igual. Nos exemplos anteriores, temos que $1,4142135^2=1,999999824$, $1,7320508^2=2,999999974$ e $2,44949^2=6,00000126$.

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Organize os seguintes números em ordem crescente: $13,\sqrt{150},\sqrt{144},14$.

Resolução

Perceba que $\sqrt{150}$ é uma raiz quadrada não exata e $\sqrt{144}$ é exata ($\sqrt{144}=12$). Assim, precisamos apenas identificar a posição de $\sqrt{150}$.

Note que $13=\sqrt{169}$. Considerando que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada, temos que

$\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}$

Portanto, organizando os números em ordem crescente, temos

$\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14$

Questão 2

Entre as alternativas a seguir, qual é a melhor aproximação com uma casa decimal para o número $\sqrt{54}$?

a) 6,8

b) 7,1

c) 7,3

d) 7,8

e) 8,1

Resolução

Alternativa C

Observe que $\sqrt{49}$ e $\sqrt{64}$ são as raízes quadradas exatas mais próximas de $\sqrt{54}$. Como $\sqrt{49}=7$ e $\sqrt{64}=8$, temos que

$7<\sqrt{54} <8$

Vejamos algumas possibilidades de aproximação com uma casa decimal para $\sqrt{54}$:

$7,1^2=50,41$

$7,2^2=51,84$

$7,3^2=53,29$

$7,4^2=54,76$

Perceba que não é necessário continuar com os testes. Além disso, entre as alternativas, 7,3 é a melhor aproximação com uma casa decimal para $\sqrt{54}$.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática