Uma raiz quadrada aproximada é uma representação finita de um número irracional. Em muitos casos, quando trabalhamos com raízes quadradas, uma estimativa com algumas casas decimais já é suficiente para nossos cálculos.
A calculadora é uma importante ferramenta nesse processo. Seu visor, que possui um espaço limitado, indica uma boa aproximação para raízes quadradas não exatas. Mas também é possível encontrar essas estimativas sem o auxílio de uma calculadora, como veremos a seguir.
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Uma raiz quadrada não exata é um número irracional.
Podemos encontrar valores aproximados para raízes quadradas não exatas.
A precisão da aproximação depende do número de casas decimais utilizadas.
A aproximação pode ser feita de diferentes maneiras, inclusive com o auxílio da calculadora.
Encontrar uma aproximação y para a raiz quadrada de x significa que y² é muito próximo de x, mas y² não é igual a x.
Existem diferentes formas para calcular a aproximação de uma raiz quadrada. Uma delas é a calculadora! Por exemplo, quando escrevemos \(\sqrt{2}\) na calculadora e clicamos em =, o número resultante é uma aproximação. O mesmo acontece com \(\sqrt{3}\) e \(\sqrt{5}\), que também são raízes quadradas não exatas, ou seja, são números irracionais.
Outra forma é utilizar raízes exatas próximas da raiz não exata estudada. Isso permite comparar as representações decimais e encontrar um intervalo para a raiz não exata. Assim, podemos testar alguns valores até encontrar uma boa aproximação.
Parece difícil, mas não se preocupe: é um processo de testes. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos
Encontre uma aproximação com duas casas decimais para \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
Perceba que \(\sqrt{4}\) e \(\sqrt{9}\) são as raízes exatas mais próximas de \(\sqrt{5}\). Lembre-se que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada. Assim, podemos concluir que
\(\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}\)
\(2<\sqrt5<3\)
Ou seja, \(\sqrt5\) é um número entre 2 e 3.
Agora é o momento da testagem: escolhemos alguns valores entre 2 e 3 e verificamos se cada número ao quadrado se aproxima de 5. (Lembre-se que \(\sqrt5=a\) se \(a^2=5\)).
Por uma questão de simplificação, vamos começar com números com uma casa decimal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Observe que nem precisamos continuar a analisar números com uma casa decimal: o número procurado está entre 2,2 e 2,3.
\(2,2<\sqrt5<2,3\)
Agora, como buscamos uma aproximação com duas casas decimais, vamos prosseguir com os testes:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Novamente, podemos parar a análise. O número procurado está entre 2,23 e 2,24.
\(2,23<\sqrt5<2,24\)
Mas, e agora? Qual desses valores com duas casas decimais escolhemos como aproximação de \(\sqrt5\)? Os dois são boas opções, porém observe que o melhor é aquele cujo quadrado mais se aproxima de 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
Ou seja, \(2,24^2 \) está mais próximo de 5 do que \(2,23^2\).
Assim, a melhor aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt5\) é 2,24. Escrevemos que \(\sqrt5≈2,24\).
Encontre uma aproximação com duas casas decimais para \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Poderíamos iniciar da mesma maneira que no exemplo anterior, ou seja, buscar raízes exatas cujos radicandos sejam próximos de 20, mas observe que é possível diminuir o valor do radicando e facilitar as contas:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Note que realizamos a decomposição do radicando 20 e utilizamos uma propriedade de radiciação.
Agora, como \(\sqrt20=2\sqrt5\), podemos utilizar a aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt5\) do exemplo anterior:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Observação: Como utilizamos um número já aproximado (\(\sqrt5≈2,24\)), o valor 4,48 pode não ser a melhor aproximação com duas casas decimais para \(\sqrt{20}\).
Leia também: Como calcular a raiz cúbica de um número?
Uma raiz quadrada exata é um número racional. Perceba que \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) e \(\sqrt{121}\) são exemplos de raízes quadradas exatas, pois \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) e \(\sqrt{121}=11\). Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos o radicando. Nos exemplos anteriores, temos que \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) e \(11^2=121\).
Uma raiz quadrada não exata é um número irracional (ou seja, um número com infinitas casas decimais não periódicas). Assim, utilizamos aproximações em sua representação decimal. Perceba que \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) e \(\sqrt6\) são exemplos de raízes não exatas, pois \(\sqrt2≈1,4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) e \(\sqrt6≈2,44949\). Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos um valor próximo ao radicando, porém não igual. Nos exemplos anteriores, temos que \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) e \(2,44949^2=6,00000126\).
Questão 1
Organize os seguintes números em ordem crescente: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Resolução
Perceba que \(\sqrt{150}\) é uma raiz quadrada não exata e \(\sqrt{144}\) é exata (\(\sqrt{144}=12\)). Assim, precisamos apenas identificar a posição de \(\sqrt{150}\).
Note que \(13=\sqrt{169}\). Considerando que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada, temos que
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Portanto, organizando os números em ordem crescente, temos
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
Questão 2
Entre as alternativas a seguir, qual é a melhor aproximação com uma casa decimal para o número \(\sqrt{54}\)?
a) 6,8
b) 7,1
c) 7,3
d) 7,8
e) 8,1
Resolução
Alternativa C
Observe que \(\sqrt{49}\) e \(\sqrt{64}\) são as raízes quadradas exatas mais próximas de \(\sqrt{54}\). Como \(\sqrt{49}=7\) e \(\sqrt{64}=8\), temos que
\(7<\sqrt{54} <8\)
Vejamos algumas possibilidades de aproximação com uma casa decimal para \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Perceba que não é necessário continuar com os testes. Além disso, entre as alternativas, 7,3 é a melhor aproximação com uma casa decimal para \(\sqrt{54}\).
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm