Proporção áurea

A proporção áurea ou proporção divina é uma igualdade associada a ideias de harmonia, beleza e perfeição. Euclides de Alexandria, matemático grego que viveu por volta de 300 a.C., foi um dos primeiros pensadores a formalizar esse conceito que até hoje intriga pesquisadores de diversas áreas.

O motivo desse interesse é que a proporção áurea pode ser observada de maneira aproximada na natureza, inclusive nas sementes e folhas de plantas e no corpo humano. Consequentemente, a proporção áurea é objeto de estudo de diferentes profissionais, como biólogos, arquitetos, artistas e designers.

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Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre proporção áurea
• 2 - Como calcular o número de ouro?
• 3 - Proporção áurea e a sequência de Fibonacci
• 4 - Proporção áurea e o retângulo de ouro
• 5 - Aplicações da proporção áurea
  • Proporção áurea na Arquitetura
  • Proporção áurea no corpo humano
  • Proporção áurea na arte
  • Proporção áurea na natureza
  • Proporção áurea no Design
• 6 - Exercícios resolvidos sobre proporção áurea

Resumo sobre proporção áurea

• A proporção áurea é a proporção para $a>b>0$ tal que

$\frac{a+b}a =\frac{a}b$

• Nessas condições, a razão $\frac{a}b$ é denominada razão áurea.

• A proporção áurea está conectada a concepções de equilíbrio, pureza e perfeição.

• A letra grega ϕ (lê-se: fi) representa o número de ouro, que é a constante obtida a partir da proporção áurea.

• Na sequência de Fibonacci, os quocientes entre cada termo e seu antecessor se aproximam do número de ouro.

• O retângulo áureo é um retângulo cujos lados estão em razão áurea.

O que é proporção áurea?

Considere um segmento de reta dividido em dois pedaços: o maior de medida a e o de menor medida b. Perceba que a+b é a medida de todo o segmento.

A proporção áurea é a igualdade entre as razões $\mathbf{\frac{a+b}a}$ e $\mathbf{\frac{a}{b}}$, ou seja

$\frac{a+b}a =\frac{a}b$

Nesse contexto, dizemos que a e b estão em razão áurea.

Mas para quais valores de a e b temos a proporção áurea? É o que veremos a seguir.

Como calcular o número de ouro?

A razão $\frac{a}b$ (ou, do mesmo modo, a razão $\frac{a+b}a$) resulta em uma constante chamada de número de ouro e representada pela letra grega ϕ. Assim, é comum escrevermos

$\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ$

Para calcular o número de ouro, vamos considerar a proporção áurea para b = 1. Assim, podemos facilmente encontrar o valor de a e obter ϕ a partir da igualdade $\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}$.

Observe que podemos escrever a proporção áurea da seguinte maneira, utilizando a propriedade de multiplicação cruzada:

$a^2=b⋅(a+b)$

Substituindo b = 1, temos que

$a^2=1⋅(a+1)$

$a^2-a-1=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para essa equação do segundo grau, concluímos que a solução positiva de a é

$a=\frac{1+\sqrt5}2$

Como a é medida de um segmento, vamos desconsiderar a solução negativa.

Portanto, como $\frac{a}b=ϕ$, o valor exato do número de ouro é:

$ϕ=\frac{1+\sqrt5}2$

Calculando o quociente, obtemos o valor aproximado do número de ouro:

$ϕ≈1,618033989$

Veja também: Como resolver operações matemáticas com frações?

Proporção áurea e a sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma lista de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois antecessores. Vejamos os dez primeiros termos dessa sequência:

$a_1=1$

$a_2=1$

$a_3=1+1=2$

$a_4=1+2=3$

$a_5=2+3=5$

$a_6=3+5=8$

$a_7=5+8=13$

$a_8=8+13=21$

$a_9=13+21=34$

$a_{10}=21+34=55$

À medida que calculamos o quociente entre cada termo e seu antecessor da sequência de Fibonacci, vamos nos aproximando do número de ouro ϕ:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1$

$\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2$

$\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5$

$\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…$

$\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6$

$\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625$

$\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…$

$\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…$

$\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…$

Proporção áurea e o retângulo de ouro

Um retângulo em que o lado maior a e o lado menor b estão em razão áurea é chamado de retângulo de ouro. Um exemplo de retângulo de ouro é o retângulo cujos lados medem 1 cm e $\frac{1+\sqrt5}2$ cm.

Saiba mais: O que são grandezas diretamente proporcionais?

Aplicações da proporção áurea

Note que, até agora, estudamos a proporção áurea apenas em contextos matemáticos abstratos. A seguir, veremos alguns exemplos aplicados, mas é necessário cuidado: a proporção áurea não se apresenta de maneira exata em nenhum desses casos. O que existem são análises de contextos diversos em que o número de ouro aparece de forma aproximada.

• Proporção áurea na Arquitetura

Alguns estudos afirmam que estimativas do número de ouro são observadas em certas relações das dimensões da Pirâmide de Quéops, no Egito, e do prédio sede da ONU, em Nova Iorque.

• Proporção áurea no corpo humano

As medidas do corpo humano variam de uma pessoa para outra, e não há um tipo de corpo perfeito. No entanto, ao menos desde a Grécia Antiga, há debates acerca de um corpo matematicamente ideal (e totalmente inatingível na realidade), com medidas relacionadas à proporção áurea. Nesse contexto teórico, por exemplo, a razão entre a altura de uma pessoa e a distância entre seu umbigo e o chão seria o número de ouro.

• Proporção áurea na arte

Há pesquisas sobre as obras “O Homem Vitruviano” e “Mona Lisa”, do italiano Leonardo da Vinci, que sugerem o uso de retângulos áureos.

• Proporção áurea na natureza

Existem estudos que apontam uma relação entre a proporção áurea e o modo com que as folhas de certas plantas se distribuem em um caule. Esse arranjo das folhas é chamado de filotaxia.

• Proporção áurea no Design

A proporção áurea também é estudada e empregada na área de Design como uma ferramenta na composição de projetos.

Exercícios resolvidos sobre proporção áurea

Questão 1

(Enem) Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega ϕ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação ϕ2 = ϕ+1.

Assim como a potência $ϕ^2$, as potências superiores de ϕ podem ser expressas da forma $aϕ+b$, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

A potência $ϕ^7$, escrita na forma aϕ+b (a e b são inteiros positivos), é

a) 5ϕ+3

b) 7ϕ+2

c) 9ϕ+6

d) 11ϕ+7

e) 13ϕ+8

Resolução

Como $ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6$, temos que

$ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)$

Aplicando a distributiva,

$ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ$

Como $ϕ^2=ϕ+1$,

$ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ$

$ϕ^7=13ϕ+8$

Alternativa E.

Questão 2

Classifique cada afirmação abaixo sobre o número de ouro em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. O número de ouro ϕ é irracional.

II. Os quocientes entre cada termo e seu antecessor na sequência de Fibonacci se aproximam do valor de ϕ.

III. 1,618 é o arredondamento com três casas decimais do número de ouro ϕ.

A sequência correta, de cima para baixo, é

a) V-V-V

b) F-V-F

c) V-F-V

d) F-F-F

e) F-V-V

Resolução

I. Verdadeira.

II. Verdadeira.

III. Verdadeira.

Alternativa A.

 

Fontes

FRANCISCO, S.V. de L. Entre o fascínio e a realidade da razão áurea. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Disponível em: http://hdl.handle.net/11449/148903.

SALES, J. da S. A proporção áurea presente na natureza. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática), Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí. Piauí, 2022. Disponível em http://bia.ifpi.edu.br:8080/jspui/handle/123456789/1551.

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática