Matriz transposta: o que é, propriedades, exemplos

A matriz transposta da matriz M é a matriz M^t. Trata-se da matriz que vamos obter quando reescrevemos a matriz M trocando de posição as linhas e colunas, transformando a primeira linha de M na primeira coluna de M^t, a segunda linha de M na segunda coluna de M^t, e assim sucessivamente.

Se a matriz M possui m linhas e n colunas, a sua matriz transposta, ou seja, M^t, vai possuir n linhas e m colunas. Existem propriedades específicas para a matriz transposta.

Leia também: O que é uma matriz triangular?

Como é obtida a matriz transposta?

Dada uma matriz A_{m x n}, conhecemos como a matriz transposta de A a matriz A^t_{n x m}. Para encontrar a matriz transposta, basta trocar a posição das linhas e colunas da matriz A. O que for a primeira linha da matriz A será a primeira coluna da matriz transposta A^t, a segunda linha da matriz A será a segunda coluna da matriz A^t, e assim sucessivamente.

De forma algébrica, seja M = (m_ij)_{m x n}, a matriz transposta de M é M^t = (m_ji) _{n x m}.

Exemplo:

Encontre a matriz transposta da matriz:

A matriz M é uma matriz 3x5, então a sua transposta será 5x3. Para encontrar a matriz transposta, faremos com que a primeira linha da matriz M seja a primeira coluna da matriz M^t.

A segunda linha da matriz M será a segunda coluna da matriz transposta:

Por fim, a terceira linha da matriz M se tornará a terceira coluna da matriz M^t:

Matriz simétrica

Com base no conceito de matriz transposta, é possível definir o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é conhecida como simétrica quando ela é igual à sua matriz transposta, ou seja, dada a matriz M, M = M^t.

Para que isso aconteça, a matriz precisa ser quadrada, o que significa que, para que a matriz seja simétrica, o número de linhas deve ser igual ao número de colunas.

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Exemplo:

Quando analisamos os termos acima da diagonal principal e os termos abaixo da diagonal principal da matriz S, é possível perceber que há termos que são iguais, o que faz com que ela seja conhecida como simétrica exatamente pela simetria da matriz em relação à diagonal principal.

Se encontrarmos a transposta da matriz S, é possível perceber que S^t é igual a S.

Como S = S^t, essa matriz é uma simétrica.

Veja também: Como resolver os sistemas lineares?

Propriedades da matriz transposta

1ª propriedade: a transposta de uma matriz transposta é igual à própria matriz:

(M^t)^t = M

2ª propriedade: a transposta da soma entre as matrizes é igual à soma da transposta de cada uma das matrizes:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3ª propriedade: a transposta da multiplicação entre duas matrizes é igual à multiplicação da transposta de cada uma das matrizes:

(M · N)^t = M^t · N^t

4ª propriedade: o determinante da matriz é igual ao determinante da matriz transposta:

det(M) = det(M^t)

5ª propriedade: a transposta da matriz vezes a constante é igual à matriz transposta vezes a constante:

(kA)^t = kA^t

Matriz inversa

O conceito de matriz inversa é bem diferente do conceito de matriz transposta, e é importante ressaltar a diferença entre eles. A matriz inversa de uma matriz M é a matriz M^-1, em que o produto entre as matrizes M e M^-1 é igual à matriz identidade.

Exemplo:

Para conhecer melhor esse tipo de matriz, leia o nosso texto: Matriz inversa.

Matriz oposta

Sendo outro caso de matriz especial, a matriz oposta da matriz M é a matriz -M. Conhecemos como matriz oposta de M = (m_ij) a matriz -M = (-m_ij). A matriz oposta é composta pelos termos opostos da matriz M.