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Matriz inversa

A matriz inversa da matriz M é a matriz M-1, em que a multiplicação entre M e M-1 é igual à matriz identidade In. Para encontrar a inversa, basta utilizar técnicas de equação.

Exemplo de matriz inversa.
Para que uma matriz possua uma inversa, ela precisa ser quadrada.
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O conceito de matriz inversa se aproxima bastante do conceito de inverso de um número. Vamos lembrar que o inverso de um número n é o número n-1, em que o produto entre os dois é igual ao elemento neutro da multiplicação, ou seja, o número 1. Já a inversa da matriz M é a matriz M-1, em que o produto M · M-1 é igual à matriz identidade In, que nada mais é do que o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Para que a matriz possua inversa, ela precisa ser quadrada e, além disso, o seu determinante tem que ser diferente de zero, caso contrário não haverá inversa. Para encontrar a matriz inversa, utilizamos a equação matricial.

Leia também: Matriz triangular — tipo especial de matriz quadrada

Tópicos deste artigo

Matriz identidade

Para compreender o que é a matriz inversa, é necessário antes conhecer a matriz identidade. Conhecemos como matriz identidade a matriz quadrada In em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são iguais a 0.

A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes, ou seja, dada uma matriz M de ordem n, o produto entre a matriz M e a matriz In é igual à matriz M.

M · In = M

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Como calcular a matriz inversa

Para encontrar a matriz inversa de M, é necessário resolver uma equação matricial:

 M · M-1 = In

Exemplo

Encontre a matriz inversa de M.

Como não conhecemos a matriz inversa, vamos representar essa matriz de forma algébrica:

Sabemos que o produto entre essas matrizes tem que ser igual a I2:

Agora vamos resolver a equação matricial:

É possível separar o problema em dois sistemas de equações. O primeiro usa a primeira coluna da matriz M ·M-1 e a primeira coluna da matriz identidade. Assim, temos que:

Para resolver o sistema, vamos isolar a21 na equação II e substituir na equação I.

Substituindo na equação I, temos que:

Como encontramos o valor de a11, então encontraremos o valor de a21:

Conhecendo o valor de a21 e a11, agora encontraremos o valor dos demais termos montando o segundo sistema:

Isolando a22 na equação III, temos que:

3a12 + 1a22 = 0

a22 = – 3a12

Substituindo na equação IV:

5a12 + 2a22 =1

5a12  + 2·( – 3a12) = 1

5a12 – 6a12 = 1

– a12 = 1    ( – 1)

a12 = – 1

Sabendo o valor de a12, encontraremos o valor de a22 :

a22 = – 3a12

a22 = – 3 · ( – 1)

a22 = 3

Agora que conhecemos todos os termos da matriz M-1, é possível representá-la:

Leia também: Adição e subtração de matrizes

Propriedades da matriz inversa

Existem propriedades que resultam da definição de uma matriz inversa.

  • 1ª propriedade: a inversa da matriz M-1 é igual à matriz M. A inversa de uma matriz inversa é sempre a própria matriz, ou seja, (M-1)-1 = M, pois sabemos que M-1 · M = In, portanto M-1 é a inversa de M e também M é a inversa de M-1.
  • 2ª propriedade: a inversa de uma matriz identidade é ela mesma: I-1 = I, pois o produto da matriz identidade por ela mesma resulta na matriz identidade, ou seja,  In · In = In.
  • 3ª propriedade: a inversa do produto de duas matrizes é igual ao produto das inversas:

(M×A)-1 = M-1 · A-1.

  • 4ª propriedade: uma matriz quadrada possui inversa se, e somente se, o seu determinante é diferente de 0, ou seja, det(M) ≠ 0.

Exercícios resolvidos sobre matriz inversa

1) Dadas a matriz A e a matriz B, sabendo que elas são inversas, então o valor de x+y é:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolução:

Alternativa d.

Montando a equação:

A · B = I 

Pela segunda coluna, igualando os termos, temos que:

3x + 5y = 0  → (I)

2x + 4y = 1  → (II)

Isolando x em I:

Substituindo na equação II, temos que:

Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x:

Agora calcularemos x + y:

Questão 2

Uma matriz só possui inversa quando o seu determinante é diferente de 0. Analisando a matriz abaixo, quais são valores de x que fazem com que a matriz não admita inversa?

a) 0 e 1.

b) 1 e 2.

c) 2 e – 1.

d) 3 e 0.

e) – 3 e – 2.

Resolução:

Alternativa b.

Calculando o determinante de A, queremos os valores em que det(A) = 0.

det(A) = x ·(x – 3)  – 1 · ( – 2)

det(A) = x² – 3x + 2

det(A) = x² – 3x + 2 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos que:

  • a = 1
  • b = – 3
  • c = 2

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Matriz inversa"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Acesso em 23 de fevereiro de 2024.

De estudante para estudante


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Lista de exercícios


Exercício 1

Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.

\(A=\left[\begin{matrix}3&2\\7&5\\\end{matrix}\right]\) 

A) \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\5&7\\\end{matrix}\right]\)

B) \(A=\left[\begin{matrix}-5&3\\2&7\\\end{matrix}\right]\)

C) \(A=\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]\)

D) \(A=\left[\begin{matrix}2&-3\\-5&7\\\end{matrix}\right]\)

E) \(A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&7\\\end{matrix}\right]\)

Exercício 2

Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.

\(A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]\) 

A) \(A=\left[\begin{matrix}-2&7\\5&1\\\end{matrix}\right]\)

B) \(A=\left[\begin{matrix}-2&3\\5&1\\\end{matrix}\right]\)

C) \(A=\left[\begin{matrix}-5&-2\\-3&3\\\end{matrix}\right]\)

D) \(A=\left[\begin{matrix}-1&3\\2&-5\\\end{matrix}\right]\)

E) \(A=\left[\begin{matrix}5&-3\\2&1\\\end{matrix}\right]\)