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Equação do 2º grau incompleta

Matemática

Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero. Existem três tipos dessas equações, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
A equação do 2º grau incompleta não apresenta o coeficiente b e/ou o coeficiente c.
A equação do 2º grau incompleta não apresenta o coeficiente b e/ou o coeficiente c.
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Uma equação do grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:

  • equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;

  • equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;

  • equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.

Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.

Leia também: Como resolver equação do primeiro grau com uma incógnita?

Resumo sobre equação do 2º grau incompleta

  • Existem três tipos de equações do 2º grau incompletas, que são:

    • ax² + bx = 0
    • ax² + c = 0
    • ax² = 0
  • Existem métodos específicos para encontrar o conjunto de soluções em cada um dos casos de equação incompleta.

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Diferenças entre equações do 2º grau incompleta e completa

Conhecemos como equação do 2º grau toda equação do tipo ax² + bx + c = 0. Quando todos esses coeficientes são diferentes de zero, a equação é conhecida como completa, porém, em alguns casos, alguns desses coeficientes são iguais a zero, o que faz com que a equação seja considerada incompleta. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

  • x² + 2x + 1 = 0 → equação do 2º grau completa;

  • x² – 5x = 0 → equação do 2º grau incompleta;

  • x² – 25 = 0 → equação do 2º grau incompleta;

  • 3x² = 0 → equação do 2º grau incompleta.

Mapa Mental - Equações do 2º grau incompletas

Mapa Mental: Equações do 2º Grau Incompletas

Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Como resolver equações do 2º grau incompletas?

Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir veremos cada um deles.

  • Quando c = 0

Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação produto. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.

1º passo: colocar x em evidência.

Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:

2x² + 5x = 0

x · (2x + 5) = 0

2º passo: separar a equação produto em dois casos.

Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, temos que:

x · (2x + 5) = 0

x = 0 ou 2x + 5 = 0

3º passo: encontrar as soluções.

Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja igual a zero, então, temos que:

Resolução de um exemplo de uma equação incompleta com c = 0.

Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.

Para saber mais sobre esse tipo de equação, leia: Equações incompletas do segundo grau com coeficiente c nulo.

  • Quando b = 0

Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a variável x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:

Exemplo:

Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.

Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.

3x² – 12 = 0

3x² = 12

x² = 12 : 3

x² = 4

Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.

x = ±√4

x = ±2

Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.

Saiba mais sobre esse tipo de equação, lendo: Equação incompleta do segundo grau com coeficiente b nulo.

  • Quando b = 0 e c = 0

Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

3x² = 0

x² = 0 : 3

x² = 0

x = ±√0

x = ±0

x = 0

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método mais comum para encontrar soluções de equações do 2º grau. Por mais que ela seja aplicada comumente em equações completas, ela serve também para equações incompletas.

Exemplo:

Resolva, pela fórmula de Bhaskara, a equação 2x² – 4x = 0.

Temos que:

a = 2

b = -4

c = 0

Calculando o delta:

Δ = b² – 4ac

Δ = (-4)² – 4 · 2 · 0

Δ = 16 – 0

Δ = 16

Resolução de um exemplo de equação incompleta utilizando a fórmula de Bhaskara.

Exercícios resolvidos sobre equação do 2º grau incompleta

Questão 1 - Analise a equação do 2º e julgue as afirmativas:

3x² – 3 – 6 = 0

I → Essa equação é incompleta.

II → As soluções dessa equação são 0 e -3.

III → A soma das raízes da equação é igual a 0.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está errada.

B) Somente a afirmativa II está errada.

C) Somente a afirmativa III está errada.

D) Todas as afirmativas estão corretas.

Resolução

Alternativa B

I → Essa equação é incompleta. (verdadeira)

Analisando a equação, é possível simplificar:

3x² – 3 – 6 = 0

3x² – 9 = 0

Note que b = 0, então, ela é incompleta.

II → As soluções dessa equação são 0 e -3. (falsa)

Encontrando as soluções, temos que:

3x² – 9 = 0

3x² = 9

x² = 9 : 3

x² = 3

x = ±√3

As soluções são x = √3 e x = -√3.

III → A soma das raízes da equação é igual a 0.

Questão 2 - Das alternativas a seguir, marque aquela que corresponde a uma equação do 2º grau incompleta:

A) 3x² + 4 > 2

B) 2x – 3 + 4x² = 0

C) 3x² + 4x = -1

D) 3x² + 2x + 3 – 2x = 0

E) 2x + 1 = 0

Resolução

Alternativa D

Analisando as equações propostas pelas alternativas, na alternativa D é possível simplificar a equação:

3x² + 2x – 2x + 3 = 0

3x² + 0x + 3 = 0

3x² + 3 = 0

Note então que ela representa uma equação incompleta.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Equação do 2º grau incompleta"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau-incompleta.htm. Acesso em 23 de setembro de 2021.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Dada a equação do 2º grau a seguir, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é igual a:

2x² – 8 = 0

A) S = {-2, 2}

B) S = {-4, 4}

C) S = {-1, 1}

D) S = {0, 4}

E) S = {0, 2}

Questão 2

Ao fazer o lançamento de um móvel, o físico descreveu que a relação entre distância e altura pode ser dada pela função d(t) = -4t² + 24t. Sendo assim, sabendo que ele parte da distância zero, a distância percorrida por esse móvel até atingir d(t) = 0 novamente será de:

A) 2 segundos

B) 3 segundos

C) 4 segundos

D) 5 segundos

E) 6 segundos

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