Coordenadas do vértice da parábola

Matemática

As coordenadas do vértice da parábola podem ser obtidas por meio de fórmulas que envolvem os coeficientes da função do segundo grau relacionados a ela.
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Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. Toda função do segundo grau é representada geometricamente por uma parábola, que é uma figura geométrica plana. As parábolas ligadas a funções do segundo grau possuem ponto de máximo ou ponto de mínimo. O maior candidato a um desses pontos é chamado de vértice da parábola.

Obtendo as coordenadas do vértice

As coordenadas do vértice podem ser obtidas de duas maneiras. A primeira utiliza uma das seguintes fórmulas:

xv = – b
       2a

yv = – Δ
        4a

Nessas fórmulas, xv e yv são as coordenadas do vértice da função do segundo grau, ou seja, V(xv, yv).

A segunda maneira de encontrar as coordenadas do vértice é a seguinte: suponha que x1 e x2 sejam as raízes de uma função do segundo grau, o ponto médio entre as raízes será a coordenada x do vértice. Sabendo disso, basta encontrar a imagem desse valor por meio da função analisada. Assim, dadas as raízes x1 e x2 de uma função f(x) = ax2 + bx + c, temos:

xv = x1 + x2
            2  

yv = f(xv) = axv2 + bxv + c

Essa é segunda técnica usada para demonstrar as fórmulas dadas.

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Demonstração das fórmulas

Dada uma função do segundo grau qualquer f(x) = ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2, podemos encontrar a coordenada xv calculando a média entre essas raízes. Para tanto, lembre-se de que:

x1 = – b + √Δ
           2a 

x2 = – b – √Δ
           2a  

Portanto:

Substituindo esse valor na função f(x) = ax2 + bx + c, temos:

 

Fazendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores, encontramos:

Exemplo

Encontre as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 16.

Usando as fórmulas, obtemos:

xv = – b
        2a

xv = – 0
         2

xv = 0

yv = – Δ
        4a

yv = – (b2 – 4·a·c)
              4a   

yv = – (02 – 4·1·(– 16))
                  4     

yv = – (– 4·(– 16))
                4      

yv = – (64)
           4

yv = – 16

As coordenadas do vértice dessa função são V (0, – 16).

 


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Representação de uma parábola e a fórmula usada para encontrar suas raízes
Representação de uma parábola e a fórmula usada para encontrar suas raízes

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Coordenadas do vértice da parábola"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/coordenadas-vertice-parabola.htm. Acesso em 26 de novembro de 2020.

Lista de Exercícios
Questão 1

Dada a função f(x) = x2 + 10x + 9, qual é a soma das coordenadas do vértice da parábola representada por ela?

a) – 21

b) – 26

c) – 10

d) – 16

e) 26

Questão 2

Conhecendo o valor da coordenada x do vértice de uma função do segundo grau f(x), qual é a melhor maneira de encontrar a outra coordenada desse mesmo ponto?

a) Usar a fórmula: – Δ 
                                  2a

b) Substituir o valor da coordenada x do vértice no lugar de f(x).

c) Encontrar a média aritmética entre x e f(x).

d) Substituir o valor de x do vértice na função f(x) para encontrar a imagem desse ponto, que é a coordenada y do vértice.

e) NDA.

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