O que é Progressão Geométrica?

Você sabe dizer o que as sequências da imagem acima possuem em comum? Em todas elas os números crescem de acordo com alguma “forma lógica”. Essas sequências numéricas podem ser classificadas como progressões geométricas. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que a divisão de um elemento pelo elemento imediatamente anterior resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão. Outro aspecto interessante que caracteriza uma progressão geométrica é que, ao escolhermos três elementos consecutivos, o quadrado do elemento do meio será sempre igual ao produto dos elementos dos extremos. Por exemplo, vamos analisar a sequência A = (1, 2, 4, 8, 16, 32, …). Podemos identificar a razão escolhendo qualquer elemento e dividindo-o pelo termo imediatamente anterior. Vamos realizar esse procedimento para todos os elementos que aparecem na sequência:

32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16         8        4        2        1     

Portanto, a razão da sequência A é 2. Vejamos se a segunda regra é válida. Vamos escolher três elementos consecutivos, por exemplo, 4, 8, 16. De acordo com a regra, o quadrado de 8 é igual ao produto de dois números das extremidades, no caso 4 e 16. Utilizando as propriedades de potenciação, temos que 8² = 64. Se multiplicarmos os extremos, obteremos que 4 * 16 = 64. Aplique essas regras em outras progressões e descubra se a sequência é uma progressão geométrica.

Dada uma sequência qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n-1, a_n, …), podemos dizer que, seja n um inteiro qualquer, a razão r é dada por:

r =    a_n   
     a_{n - 1}

Vamos analisar as demais sequências da imagem inicial do texto, verificando se elas são progressões geométricas.

B = {5, 25, 125, 625, 3125, …}

r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
      5      25     125     625      

C = {1, – 3, 9, – 27, 81, – 243, 729}

r = – 3 =  9 = – 27 =   81 = 243 = – 3
       1   – 3       9      – 27    81         

D = {10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}

r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
     10    5      2,5      1,25      0,625    2

Uma progressão geométrica pode ser classificada de acordo com sua razão. Vejamos as classificações possíveis:

• Se a PG apresenta uma razão de valor negativo, dizemos que se trata de uma PG alternada ou oscilante, assim como ocorre no exemplo C. Observe que uma sequência desse tipo tem valores positivos e negativos alternados (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729...);

• Quando o primeiro elemento da PG é positivo e a razão r é do tipo r > 1 ou o primeiro elemento da PG é negativo e 0 < r < 1, dizemos que a PG é crescente. As sequências A e B são exemplos de uma progressão geométrica crescente;

• Se ocorrer o contrário da PG constante, isto é, quando o primeiro elemento da PG é negativo e a razão r é do tipo r > 1 ou o primeiro elemento da PG é positivo e 0 < r < 1, trata-se de uma PG decrescente. A sequência D é um exemplo de uma PG decrescente;

• Quando uma PG possui razão igual a 1, ela é classificada como uma PG constante. A sequência (2, 2, 2, 2, 2, …) é um tipo de PG constante, pois sua razão é 1;

• Quando a PG possui pelo menos um termo nulo, dizemos que ela é uma progressão geométrica singular. Nós não conseguimos determinar a razão de uma PG singular. Um exemplo é a sequência (2, 0, 0, 0, …).

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática