O que é Progressão Aritmética?

Progressão arimética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão. Por exemplo, considere a sequência a seguir:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)

Vamos observar o que acontece com a subtração de qualquer termo pelos seus antecessores:

20 – 18 = 2

18 – 16 = 2

16 – 14 = 2

14 – 12 = 2

.

.

.

4 – 2 = 2

Podemos então dizer que a razão (r) dessa sequência numérica é 2. Considere a seguinte sequência numérica:

(a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n-1, a_n, ...)

Essa sequência numérica pode ser classificada como uma Progressão Aritmética (PA) se para qualquer elemento da sequência valer:

a_n = a_n-1 + r, sendo que r é a razão da PA

Uma progressão aritmética pode ser classificada como:

1. PA Crescente

Uma PA é dita crescente se cada termo da sequência for maior que o termo anterior. Isso acontece sempre quando a razão é maior do que zero. Exemplos:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → r = 1

(-20, -10, 0, 10, 20, 30,...) → r = 10

2. PA Constante

Uma PA é considerada constante se cada termo da sequência for igual ao termo anterior ou posterior. Isso acontece sempre quando a razão é igual a zero. Exemplos:

(1, 1, 1, 1, 1, 1, …) → r = 0

(30, 30, 30, 30, 30, 30,...) → r = 0

3. PA Decrescente

Dizemos que uma PA é decrescente se cada termo da sequência for menor que o termo anterior. Isso acontece sempre quando a razão é menor do que zero. Exemplos:

(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, …) → r = -1

(15, 10, 5, 0, -5, -10,...) → r = -5

Dada uma progressão aritmética qualquer, conhecendo o primeiro termo da sequência e a razão da progressão, nós conseguimos identificar qualquer outro elemento dessa PA. Observe que um termo subtraído de seu antecessor sempre resulta na razão. Em uma PA, conseguimos escrever n igualdades que seguem esse padrão, o que permite a montagem de um sistema de equações. Somando as (n - 1) equações lado a lado, teremos:

a₂ – a₁ = r

a₃ – a₂ = r

a₄ – a₃ = r

a₅ – a₄ = r

.

.

.

a_n – a_n-1 = r
a_n – a₁ = (n – 1).r

a_n = a₁ + (n – 1).r

Essa fórmula é chamada de Termo Geral de uma PA e, através dela, conseguimos identificar qualquer termo de uma progressão aritmética.

Se desejarmos identificar a Soma dos termos de uma PA Finita, podemos observar que, em qualquer progressão aritmética finita, a soma do primeiro e do último termo é igual à soma do segundo termo com o penúltimo termo e assim por diante. Vejamos um esquema a seguir para exemplificar esse fato. S_n representa a soma dos termos.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n,

a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2

Ao somar cada dupla de termos, encontramos sempre o mesmo valor. Podemos concluir que o valor de S_n será o produto dessa soma pela quantidade de elementos que a PA possui, dividido por dois, pois estamos somando os elementos “dois a dois”. Ficamos então com a seguinte fórmula:

S_n = (a₁ + a_n).n
2

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática