O que é fórmula de Bháskara?

A fórmula de Bháskara é um dos métodos mais conhecidos para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau. Nessa fórmula, basta substituir os valores dos coeficientes dessa equação e realizar os cálculos que forem formados.

Lembre-se: resolver uma equação é encontrar os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira. Para as equações do segundo grau, são sinônimos de resolver: encontrar as raízes ou encontrar os zeros da equação.

Para tornar mais fácil a compreensão do uso da fórmula de Bháskara, vale relembrar o que é uma equação do segundo grau e o que são seus coeficientes.

Tópicos deste artigo

• 1 - Equação do segundo grau
• 2 - Mapa Mental: Fórmula de Bháskara
• 3 - Discriminante
• 4 - Fórmula de Bháskara

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau é toda aquela que pode ser escrita na seguinte forma:

ax² + bx + c = 0

Com a, b e c como números reais e com a ≠ 0.

Se x é a incógnita da equação do segundo grau acima, então a, b e c são seus coeficientes. A incógnita é o número desconhecido de uma equação, e os coeficientes são os números conhecidos, na maioria dos casos.

Note que o coeficiente “a” é o número real que multiplica x². Para o uso da fórmula de Bháskara, isso sempre será verdadeiro.

Além disso, o coeficiente “b” é o número real que multiplica x, e o coeficiente “c” é a parcela fixa que aparece na equação, ou seja, que não multiplica a incógnita.

Sabendo disso, podemos dizer que os coeficientes da equação:

4x² – 4x – 24 = 0

São:

a = 4, b = – 4 e c = – 24

Mapa Mental: Fórmula de Bháskara

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Discriminante

O primeiro passo a ser dado para resolver uma equação do segundo grau é calcular o valor de seu discriminante. Para tanto, utilize a fórmula:

? = b² – 4·a·c

Nessa fórmula, ? é o discriminante e a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau.

O discriminante do exemplo dado acima, 4x² – 4x – 24 = 0, será:

? = b² – 4·a·c

? = (– 4)² – 4·4·(– 24)

? = 16 – 16·(– 24)

? = 16 + 384

? = 400

Sendo assim, podemos dizer que o discriminante da equação 4x² – 4x – 24 = 0 é ? = 400.

Fórmula de Bháskara

Tendo em mãos os coeficientes e o discriminante de uma equação do segundo grau, utilize a fórmula a seguir para encontrar os seus resultados.

x = – b ± √?
      2a

Note que existe um sinal ± antes da raiz. Isso significa que existirão dois resultados para essa equação: um para – √? e outro para + √?.

Ainda usando o exemplo anterior, sabemos que, na equação 4x² – 4x – 24 = 0, os coeficientes são:

a = 4, b = – 4 e c = – 24

E o valor de delta é:

? = 400

Substituindo esses valores na fórmula de Bháskara, teremos os dois resultados procurados:

x = – b ± √?
     2a

x = – (– 4) ± √400
      2·4

x = 4 ± 20
     8

O primeiro valor será chamado de x’, e nós usaremos o resultado positivo de √400:

x’ = 4 + 20
      8

x’ = 24
       8

x’ = 3

O segundo valor será chamado de x’’, e nós usaremos o resultado negativo de √400:

x’ = 4 – 20
      8

x’ = – 16
         8

x’ = – 2

Então, os resultados – também chamados de raízes ou zeros – dessa equação são:

S = {3, – 2}

2º Exemplo: Quais as medidas dos lados de um retângulo cuja base mede o dobro da largura e sua área é igual a 50 cm².

Solução: Se a base mede o dobro da altura, pode-se dizer que, se a altura mede x a base medirá 2x. Como a área de um retângulo é o produto de sua base por altura, teremos:

A = 2x·x

Substituindo os valores e resolvendo a multiplicação, teremos:

50 = 2x²

ou

2x² – 50 = 0

Observe que essa equação do segundo grau possui os coeficientes: a = 2, b = 0 e c = – 50. Substituindo esses valores na fórmula do discriminante:

? = b² – 4·a·c

? = (0)² – 4·2·(– 50)

? = 0 – 8·(– 50)

? = 400

Substituindo os coeficientes e o discriminante na fórmula de Bháskara, teremos:

x = – b ± √?
     2a

x = – (0) ± √400
      2·2

x = 0 ± 20
     4

Para x’, teremos:

x’ = 20
      4

x’ = 5

Para x’’, teremos:

x’ = – 20
        4

x’ = – 5

S = {5, – 5}

Essa é a solução da equação do segundo grau. Como não existe comprimento negativo para um lado de um polígono, a solução para o problema é x = 5 cm para o lado menor, e 2x = 10 cm para o lado maior.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática