Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis são ângulos que comumente estão presentes em situações envolvendo razões trigonométricas. São eles os ângulos de 30º, 45º e 60º. Nesses ângulos, é comum que os valores do seno, do cosseno e da tangente sejam conhecidos e representados na tabela dos valores dos ângulos notáveis. Os ângulos notáveis nos ajudam a resolver problemas que envolvem trigonometria.

Leia também: Teorema de Pitágoras — relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo

Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis

• Os ângulos notáveis são ângulos que aparecem recorrentemente em problemas envolvendo trigonometria.
• Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º.
• É importante conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis. De modo geral, temos que:
  • sen(30°) = \(\frac{1}{2}\)               sen(45°) = \(\frac{\sqrt2}{2}\)                sen(60°) = \(\frac{\sqrt3}{2}\)
  • cos(30°) = \(\frac{\sqrt3}{2}\)             cos(45°) = \(\frac{\sqrt2}{2}\)                 cos(60°) = \(\frac{1}{2}\)
  • tan(30°) = \(\frac{\sqrt3}{3}\)              tan(45°) = 1                    tan(60°) = \(\sqrt3\)

Videoaula sobre os ângulos notáveis

O que são ângulos notáveis?

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são conhecidos como ângulos notáveis por serem os ângulos mais recorrentes em situações que envolvem as razões trigonométricas. Por serem bastante recorrentes, é importante saber qual é o valor do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos.

Valores do seno, do cosseno e da tangente

De modo geral, o seno, o cosseno e a tangente são conhecidos como razões trigonométricas —relações entre lados de um triângulo retângulo. Para compreender o valor do seno, do cosseno e da tangente, veja a imagem a seguir:

Relações de seno, cosseno e tangente de um ângulo.

Analisando a imagem, podemos afirmar que:

• O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ  e a hipotenusa do triângulo.

\(sen \theta = \frac {cateto\ oposto}{hipotenusa}\)

• O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo θ  e a hipotenusa do triângulo.

\(cos \theta = \frac {cateto\ adjacente}{hipotenusa}\)

• A tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ  e o cateto adjacente a θ .

\(tan \theta = \frac {cateto\ oposto}{cateto\ adjacente}\)

Tabela de valores dos ângulos notáveis

Como calcular os ângulos notáveis?

Para demonstrar o valor de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, primeiro analisaremos um triângulo equilátero com a altura h a seguir:

Por Pitágoras, temos que:

\(\left( \frac{l}{2} \right)^2 + l^2 = h^2 \)

\(\frac{l^2}{4} + l^2 = h^2 \)

Invertendo a igualdade temos que:

\(h^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \)

\(h^2 = \frac{3l^2}{4} \)

\(h = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} \)

\(h=\frac{√3l}{2}\)

Considerando o triângulo AHC.

Começando pelo seno de 30º, temos que:

\(sen(30^\circ) = \frac{\overline{HC}}{\overline{AC}} \)

\(sen(30^\circ) = \frac{\frac{l}{2}}{l} \)

\(sen(30^\circ) = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{l} \)

\(sen(30°) = \frac{1}{2} \)

Agora, sobre o seno de 60º, temos que:

\(sen(60°) = \frac{h}{l} \)

Mas sabemos que \(h=\frac{√3l}{2}\).

Logo, temos que:

\(sen(60°)= \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Agora, calcularemos a tangente de 30º:

\(\tan(30°) = \frac{\frac{l}{2}}{\frac{\sqrt{3} l}{2}} = \frac{l}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} l} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

\(\tan(60°) = \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{\frac{l}{2}} = \frac{\sqrt{3} l}{2} \cdot \frac{2}{l} = \sqrt{3} \)

Para demonstrar o seno, o cosseno e a tangente de 45º, faremos um triângulo isósceles de ângulos medindo 45º.

Por Pitágoras, temos que:

\(l^2 + l^2 = d^2 \)

\(2 l^2 = d^2 \)

\(d = \sqrt2 l\)

Então temos que:

\(sen(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\(cos(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\(tan(45°) = \frac{l}{l} = 1\)

Leia também: Cálculos envolvendo semelhança de triângulos

Exercícios sobre ângulos notáveis

Questão 1

(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

A) 0,5 m

B) 1 m

C) 1,5 m

D) 1,7 m

E) 2 m

Resolução:

Alternativa B

Representando a situação, temos que:

Para calcular o valor de x, aplicaremos o seno de 30º:

\(sen(30°) = \frac{x}{2}\)

Sabemos que \(sen(30°) = \frac{1}{2}\), então temos que:

\(\frac{1}{2} = \frac{x}{2}\)

\(2x = 2\)

\(x = \frac{2}{2}\)

\(x = 1\)

Questão 2

O terreno do Lucca tem o formato de um retângulo cujo lado menor mede 16 m. Sabendo que o ângulo formado entre o lado menor e a diagonal é de 60º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (use √3 = 1,7)

A) 10

B) 16

C) 18

D) 24

E) 32

Resolução:

Alternativa E

Dada a diagonal AC  e aplicando o cosseno de 60°, temos que:

\(\cos(60º) = \frac{16}{\overline{AC}} \)

\(\frac{1}{2} = \frac{16}{\overline{AC}}\)

\(\overline{AC} = 2 \cdot 16\)

\(\overline{AC} = 32 m\)