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O que é Progressão Aritmética?

O que é Matemática?

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica ordenada por uma razão, proveniente da subtração de um termo por seu antecessor.
Essa é uma progressão aritmética de razão 1
Essa é uma progressão aritmética de razão 1
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Progressão arimética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão. Por exemplo, considere a sequência a seguir:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)

Vamos observar o que acontece com a subtração de qualquer termo pelos seus antecessores:

20 – 18 = 2

18 – 16 = 2

16 – 14 = 2

14 – 12 = 2

.

.

.

4 – 2 = 2

Podemos então dizer que a razão (r) dessa sequência numérica é 2. Considere a seguinte sequência numérica:

(a1, a2, a3, a4, …, an-1, an, ...)

Essa sequência numérica pode ser classificada como uma Progressão Aritmética (PA) se para qualquer elemento da sequência valer:

an = an-1 + r, sendo que r é a razão da PA

Uma progressão aritmética pode ser classificada como:

  1. PA Crescente

Uma PA é dita crescente se cada termo da sequência for maior que o termo anterior. Isso acontece sempre quando a razão é maior do que zero. Exemplos:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → r = 1

(-20, -10, 0, 10, 20, 30,...) → r = 10

  1. PA Constante

Uma PA é considerada constante se cada termo da sequência for igual ao termo anterior ou posterior. Isso acontece sempre quando a razão é igual a zero. Exemplos:

(1, 1, 1, 1, 1, 1, …) → r = 0

(30, 30, 30, 30, 30, 30,...) → r = 0

  1. PA Decrescente

Dizemos que uma PA é decrescente se cada termo da sequência for menor que o termo anterior. Isso acontece sempre quando a razão é menor do que zero. Exemplos:

(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, …) → r = -1

(15, 10, 5, 0, -5, -10,...) → r = -5

Dada uma progressão aritmética qualquer, conhecendo o primeiro termo da sequência e a razão da progressão, nós conseguimos identificar qualquer outro elemento dessa PA. Observe que um termo subtraído de seu antecessor sempre resulta na razão. Em uma PA, conseguimos escrever n igualdades que seguem esse padrão, o que permite a montagem de um sistema de equações. Somando as (n - 1) equações lado a lado, teremos:

a2a1 = r

a3 – a2 = r

a4 – a3 = r

a5 – a4 = r

.

.

.

an – an-1 = r
an – a1 = (n – 1).r

an = a1 + (n – 1).r

Essa fórmula é chamada de Termo Geral de uma PA e, através dela, conseguimos identificar qualquer termo de uma progressão aritmética.

Se desejarmos identificar a Soma dos termos de uma PA Finita, podemos observar que, em qualquer progressão aritmética finita, a soma do primeiro e do último termo é igual à soma do segundo termo com o penúltimo termo e assim por diante. Vejamos um esquema a seguir para exemplificar esse fato. Sn representa a soma dos termos.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an,

a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2

Ao somar cada dupla de termos, encontramos sempre o mesmo valor. Podemos concluir que o valor de Sn será o produto dessa soma pela quantidade de elementos que a PA possui, dividido por dois, pois estamos somando os elementos “dois a dois”. Ficamos então com a seguinte fórmula:

Sn = (a1 + an).n
2

 

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "O que é Progressão Aritmética?"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm>. Acesso em 17 de dezembro de 2017.

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