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Teorema da decomposição de um polinômio

Matemática

O teorema da decomposição de um polinômio garante que todo polinômio de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em fatores de grau 1.
Aprenda a utilizar o teorema da decomposição de polinômios
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O teorema fundamental da álgebra para equações polinomiais garante que “todo polinômio de grau n ≥ 1 possui pelo menos uma raiz complexa”. A demonstração desse teorema foi feita pelo matemático Friedrich Gauss, em 1799. A partir dele, podemos demonstrar o teorema da decomposição de um polinômio, o qual garante que qualquer polinômio pode ser decomposto em fatores de primeiro grau. Tome o seguinte polinômio p(x) de grau n ≥ 1 e an ≠ 0:

p(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1x1 + a0

Através do teorema fundamental da álgebra, podemos afirmar que esse polinômio possui pelo menos uma raiz complexa u1, tal que p(u1) = 0. O teorema de D'Alembert para a divisão de polinômios afirma que, se p(u1) = 0, então p(x) é divisível por (x – u1), resultando em um quociente q1(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o que nos leva a afirmar:

p(x) = (x – u1) . q1(x)

A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades:

Se u = 1 e q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), então q1(x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante de p(x) é an, q1(x) é um polinômio constante do tipo q1(x) = an. Portanto, temos:

p(x) = (x – u1) . q1(x)
(x) = (x – u1) . an
p(x) = an . (x – u1)

Mas se u ≥ 2, então o polinômio q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o teorema fundamental da álgebra. Podemos afirmar que o polinômio q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a afirmar que q1 pode ser escrito como:

q1(x) = (x – u2) . q2(x)

Mas como p(x) = (x – u1) . q1(x), podemos reescrevê-lo como:

p(x) = (x – u1) . (x – u2) . q2(x)

Repetindo sucessivamente esse processo, teremos:

p(x) = an. (x – u1) . (x – u2) … (x – un)

Dessa forma, podemos concluir que todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui exatamente raízes complexas.

Exemplo: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida:

Se – 1, 2, 3, – 2 e 4 são raízes do polinômio, então o produto das diferenças de x por cada uma dessas raízes resulta em p(x):

p(x) = an.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Se o coeficiente dominante an = 1, temos:

p(x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x² – x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12).(x – 4)
p(x) = x5 – 6x4 + x³ + 36x² – 20x – 48

 

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Teorema da decomposição de um polinômio"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm>. Acesso em 23 de agosto de 2017.

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