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Produtos notáveis

Matemática

Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos notáveis apresentam cinco casos distintos.
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Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z2 + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

  • quadrado = expoente 2;

  • Soma de dois termos = a + b;

  • Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) =

= a2 + a . b + a . b + b2 =

= a2 + 2 . a . b + b2

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)2 =
= 22 + 2 . 2 . a + a2 =
= 4 + 4 . a + a2


(3x + y)2 =
= (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 =
= 9x2 +6 . x . y + y2

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

  • Quadrado = expoente 2;

  • Diferença de dois termos = a – b;

  • Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2.

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
=
a2 – a . b – a . b + b2 =
= a2 – 2 .a . b + b2

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)2 =
= a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 =
= a2 – 10 . a . c + 25c2


(p – 2s) =
= p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 =
= p2 – 4 . p . s + 4s2

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

  • Produto = operação de multiplicação;

  • Soma de dois termos = a + b;

  • Diferença de dois termos = a – b;

  • O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =
=
a2 - ab + ab - b2 =
= a2 + 0 + b2 = a2 - b2

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a2 - b2

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =
= 22 – c2 =
= 4 – c2


(3x2 – 1) . (3x2 + 1) =
= (3x2)2 – 12 =
= 9x4 - 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

  • Cubo = expoente 3;

  • Soma de dois termos = a + b;

  • Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) =
= ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
= a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
= a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)3 =
= (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 =
= 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

  • Cubo = expoente 3;

  • Diferença de dois termos = a – b;

  • Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) =
= (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
= a3 - 2. a2 . b - a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x - 2y)3 =
= x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 =
x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3


Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática

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