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Soma e produto é um método utilizado para encontrar as soluções de uma equação. Utilizamos a soma e produto como método para calcular as raízes de uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0.
Esse é um método interessante quando as soluções da equação são números inteiros. Já em casos em que as soluções não são inteiras, pode ser bastante complicado utilizar a soma e produto, havendo outros métodos mais fáceis para encontrar as soluções da equação.
Leia também: Bhaskara — a fórmula mais conhecida para resolver equações do segundo grau
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre soma e produto
- 2 - O que é a soma e produto?
- 3 - Fórmula da soma e produto
- 4 - Como calcular as raízes usando soma e produto?
- 5 - Exercícios resolvidos sobre soma e produto
Resumo sobre soma e produto
- A soma e produto é um dos métodos utilizados para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau completa.
- Pela soma e produto, dada a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, temos que:
x1+x2=−ba
x1⋅x2=ca
- x1 e x2 são as soluções da equação de 2º grau.
- a, b e c são os coeficientes da equação de 2º grau.
O que é a soma e produto?
A soma e produto é um dos métodos que podemos utilizar para encontrar as soluções de uma equação. Utilizada em equações do 2º grau, a soma e produto pode ser um método mais prático para encontrar as soluções da equação, pois consiste em buscar quais são os números que satisfazem a fórmula da soma e produto para determinada equação.
Fórmula da soma e produto
Em uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0, com soluções iguais a x1 e x2 , pela soma e produto, temos que:
x1+x2=−ba
x1⋅x2=ca
Como calcular as raízes usando soma e produto?
Para encontrar as soluções, primeiramente procuramos quais são os números inteiros cujo produto é igual a ca.
Sabemos que as soluções da equação podem ser positivas ou negativas:
- Produto positivo e soma positiva: as duas raízes são positivas.
- Produto positivo e soma negativa: as duas raízes são negativas.
- Produto negativo e soma positiva: uma raiz é positiva e a outra é negativa, sendo que a de maior módulo é positiva.
- Produto negativo e soma negativa: uma raiz é positiva e a outra é negativa, sendo que a de maior módulo é negativa.
Posteriormente, após listar todos os produtos que satisfazem a equação, analisamos qual deles satisfaz a equação da soma, ou seja, quais são os dois números que satisfazem a equação do produto e da soma simultaneamente.
Exemplo 1:
Encontre as soluções da equação:
x²−5x+6=0
De início, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6:
x1+x2=5
x1⋅x2=6
Como a soma e o produto são positivos, as raízes são positivas. Analisando o produto, sabemos que:
1 ⋅6 = 6
2⋅3 = 6
Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a 5, que no caso é:
2+3=5
Assim, as soluções dessa equação são x1=2 e x2=3.
Exemplo 2:
Encontre as soluções da equação:
x2+2x−24=0
Primeiramente, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = 2 e c = -24.
x1+x2=− 2
x1⋅x2=− 24
Como a soma e o produto são negativos, as raízes são de sinais opostos, e a de maior módulo é negativa. Analisando o produto, sabemos que:
1⋅(−24)=−24
2⋅(−12)=−24
3⋅(−8)=−24
4⋅(−6)=−24
Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a -2 , que no caso é:
4+(−6)=−2
Assim, as soluções dessa equação são x1=4 e x2=−6 .
Leia também: Como resolver uma equação do segundo grau incompleta
Exercícios resolvidos sobre soma e produto
Questão 1
Sejam y e z as raízes da equação 4x2-3x-1=0 , o valor de 4(y+4) (z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Resolução:
Alternativa A
Calculando por soma e produto:
y+z=34
y⋅z=−14
Então, temos que:
4(y+4)(z+4)=4(yz+4y+4z+16)
4(y+4)(z+4)=4(−14+4(y+z)+16)
4(y+4)(z+4)=4(−14+4⋅34+16)
4(y+4)(z+4)=4(−14+3+16)
4(y+4)(z+4)=4(−14+19)
4(y+4)(z+4)=4(76−14)
4(y+4)(z+4)=4⋅754
4(y+4)(z+4)=75
Questão 2
Considerando a equação 2x2 + 8x + 6 = 0, seja S a soma das raízes dessa equação e P o produto das raízes da equação, então o valor da operação (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Resolução:
Alternativa B
Calculando por soma e produto:
S=x1+x2=−4
P = x1⋅x2=3
Então, temos que:
(−4−3)2=(−7)2=49
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática