Soma e produto

Soma e produto é um método utilizado para encontrar as soluções de uma equação. Utilizamos a soma e produto como método para calcular as raízes de uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0.

Esse é um método interessante quando as soluções da equação são números inteiros. Já em casos em que as soluções não são inteiras, pode ser bastante complicado utilizar a soma e produto, havendo outros métodos mais fáceis para encontrar as soluções da equação.

Leia também: Bhaskara — a fórmula mais conhecida para resolver equações do segundo grau

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre soma e produto
• 2 - O que é a soma e produto?
• 3 - Fórmula da soma e produto
• 4 - Como calcular as raízes usando soma e produto?
• 5 - Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Resumo sobre soma e produto

• A soma e produto é um dos métodos utilizados para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau completa.
• Pela soma e produto, dada a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, temos que:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

• x₁  e x₂  são as soluções da equação de 2º grau.
• a, b e c são os coeficientes da equação de 2º grau.

O que é a soma e produto?

A soma e produto é um dos métodos que podemos utilizar para encontrar as soluções de uma equação. Utilizada em equações do 2º grau, a soma e produto pode ser um método mais prático para encontrar as soluções da equação, pois consiste em buscar quais são os números que satisfazem a fórmula da soma e produto para determinada equação.

Fórmula da soma e produto

Em uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0, com soluções iguais a x₁  e x₂ , pela soma e produto, temos que:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Como calcular as raízes usando soma e produto?

Para encontrar as soluções, primeiramente procuramos quais são os números inteiros cujo produto é igual a $\frac{c}{a}$.

Sabemos que as soluções da equação podem ser positivas ou negativas:

• Produto positivo e soma positiva: as duas raízes são positivas.
• Produto positivo e soma negativa: as duas raízes são negativas.
• Produto negativo e soma positiva: uma raiz é positiva e a outra é negativa, sendo que a de maior módulo é positiva.
• Produto negativo e soma negativa: uma raiz é positiva e a outra é negativa, sendo que a de maior módulo é negativa.

Posteriormente, após listar todos os produtos que satisfazem a equação, analisamos qual deles satisfaz a equação da soma, ou seja, quais são os dois números que satisfazem a equação do produto e da soma simultaneamente.

Exemplo 1:

Encontre as soluções da equação:

$x²-5x+6=0$

De início, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6:

$x_1+x_2=5$

$x_1\cdot x_2=6$

Como a soma e o produto são positivos, as raízes são positivas. Analisando o produto, sabemos que:

$1\ \cdot6\ =\ 6\ $

$2\cdot3\ =\ 6$

Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a 5, que no caso é:

$2+3=5$

Assim, as soluções dessa equação são $x_1=2\ e\ x_2=3$.

Exemplo 2:

Encontre as soluções da equação:

$x^2+2x-24=0\ $

Primeiramente, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = 2 e c = -24.

$x_1+x_2=-\ 2$

$x_1\cdot x_2=-\ 24$

Como a soma e o produto são negativos, as raízes são de sinais opostos, e a de maior módulo é negativa. Analisando o produto, sabemos que:

$1\cdot(-24)=-24$

$2\cdot\left(-12\right)=-24$

$3\cdot\left(-8\right)=-24$

$4\cdot\left(-6\right)=-24$

Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a -2 , que no caso é:

$4+\left(-6\right)=-2$

Assim, as soluções dessa equação são $x_1=4\ e\ x_2=-6$ .

Leia também: Como resolver uma equação do segundo grau incompleta

Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Questão 1

Sejam y e z as raízes da equação 4x²-3x-1=0 , o valor de 4(y+4) (z+4) é:

A) 75

B) 64

C) 32

D) 18

E) 16

Resolução:

Alternativa A

Calculando por soma e produto:

$y+z=\frac{3}{4}$

$y\cdot z=-\frac{1}{4}$

Então, temos que:

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left(y+z\right)+16\right)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\right)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}$

$4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=75$

Questão 2

Considerando a equação 2x² + 8x + 6 = 0, seja S a soma das raízes dessa equação e P o produto das raízes da equação, então o valor da operação (S - P)²  é:

A) 36

B) 49

C) 64

D) 81

E) 100

Resolução:

Alternativa B

Calculando por soma e produto:

$S=x_1+x_2=-4$

$P\ =\ x_1\cdot x_2=3$

Então, temos que:

$\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49$

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática