Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é uma equação da Cinemática desenvolvida pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli. Essa equação permite determinar grandezas como aceleração, velocidades final e inicial e, até mesmo, o deslocamento de um corpo que se move com aceleração constante quando não se conhece o intervalo de tempo no qual o movimento ocorreu.

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre equação de Torricelli
• 2 - Equação de Torricelli
• 3 - Determinação da equação de Torricelli
• 4 - Gráficos da equação de Torricelli
• 5 - Exercícios sobre equação de Torricelli
• 6 - Resolução:

Resumo sobre equação de Torricelli

• A equação de Torricelli pode ser usada em exercícios que envolvem acelerações constantes nos casos em que o intervalo de tempo não é informado.

• Usando a equação de Torricelli, podemos determinar grandezas como velocidade inicial, velocidade final, aceleração e deslocamento.

• Para determinar a equação de Torricelli, usamos a função horária da posição e a função horária da velocidade.

• O gráfico da equação de Torricelli de velocidade em função do tempo é sempre uma reta ascendente ou descendente para os casos de movimentos acelerados e desacelerados, respectivamente.

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é independente do tempo. Ela é desenvolvida a partir da junção da função horária da velocidade com a função horária da posição para o movimento uniformemente variado (MUV), ou seja, um movimento que ocorre em linha reta e com aceleração constante. A equação de Torricelli é definida pela fórmula abaixo:
 

Legenda:
v – velocidade final (m/s)
v₀ – velocidade inicial (m/s)
a – aceleração média (m/s²)
ΔS – deslocamento (m)

Veja também: Como resolver exercícios de Cinemática?

Determinação da equação de Torricelli

Para determinarmos a equação de Torricelli, usamos a função horária da velocidade do MUV com a função horária da posição. O processo é simples: isolamos a variável t (tempo) na função horária da velocidade e substituímos essa incógnita na função horária da velocidade.

A equação abaixo apresenta a função horária da velocidade do MUV:
 

Legenda:
v – velocidade final (m/s)
v₀ – velocidade inicial (m/s)
a – aceleração média (m/s²)
t – intervalo de tempo (s)

Abaixo, temos a função horária da posição para o MUV:
 

Legenda:
S – posição final (m)
S₀ – posição inicial (m)
v₀ – velocidade inicial (m/s)
a – aceleração média (m/s²)
t – intervalo de tempo (s)

Isolamos a variável t na função horária da velocidade:
 

Em seguida, substituímos a variável t na função horária da posição. Dessa forma, teremos o seguinte desenvolvimento:
 

Elevando o segundo termo entre parênteses ao quadrado e aplicando a propriedade distributiva, teremos a seguinte resolução para a equação acima:
 

Fazendo as substituições corretamente, é possível determinarmos uma equação muito útil, que independe do tempo, para o MUV. Para tanto, basta conhecermos as funções da velocidade e da posição do movimento uniformemente variado.

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Gráficos da equação de Torricelli

Os gráficos da equação de Torricelli mais comuns são aqueles que relacionam a velocidade do móvel com o tempo. Por meio desses gráficos, é possível também determinarmos a equação de Torricelli. Observe:

O gráfico acima mostra a velocidade de um corpo aumentando de forma constante em função do tempo. Isso indica que sua aceleração não varia e que esse movimento é uniformemente acelerado.

Podemos determinar o espaço percorrido pelo móvel representado no gráfico por meio de sua área. Para tanto, é importante percebermos que a figura apresentada acima tem o formato de um trapézio, cuja área é determinada pela fórmula a seguir:
 

Legenda:
A – área do trapézio
B – aresta da base maior do trapézio
b – aresta da base menor do trapézio
h – altura do trapézio

Olhando com calma a figura, percebemos que esse trapézio encontra-se deitado, suas arestas de base maior e menor são v_f e v₀, respectivamente, e sua altura é o intervalo de tempo t. Dessa forma, a área dessa figura geométrica é dada por:
 

Com o mesmo artifício usado para determinar a equação de Torricelli anteriormente, substituímos t:
 

Dessa forma, teremos a seguinte equação:
 

A solução dessa equação, após aplicadas as propriedades distributivas, resulta na equação de Torricelli.

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Exercícios sobre equação de Torricelli

Ao avistar um acidente na pista, um motorista que se movia com velocidade de 72 km/h pisa no freio, imprimindo uma desaceleração constante ao veículo de módulo igual a 2 m/s² até pará-lo completamente. Determine:

a) O deslocamento sofrido pelo veículo até sua parada completa.

b) O intervalo de tempo necessário para o veículo parar completamente.

Resolução:

a) Podemos calcular o deslocamento do veículo usando a equação de Torricelli. Observe:
 

O exercício diz que a velocidade inicial do veículo era de 72 km/h. Para iniciarmos o cálculo, devemos transformar essa unidade para metros por segundo (m/s), que é a unidade de velocidade usada no sistema internacional de unidades (SI). Para isso, dividimos esse valor pelo fator 3,6, resultando em 20 m/s. Além disso, o exercício informa que o veículo para completamente, logo, sua velocidade final é 0. Sendo a desaceleração do veículo igual a 2 m/s², temos que:
 

b) Podemos calcular o intervalo de tempo em que o movimento ocorreu de duas formas distintas: usando a função horária da posição ou a função horária da velocidade. No entanto, a segunda opção é a mais simples, uma vez que a função horária da posição é uma equação de 2º grau. A função horária da velocidade é apresentada abaixo:
 

Substituindo os valores fornecidos no enunciado do exercício, temos:
 

Portanto, o veículo levou 10 s até parar completamente após ter avistado o acidente na pista.

Por Me. Rafael Helerbrock