Aceleração angular

A aceleração angular é a medida da velocidade angular necessária para que, em um tempo específico, um trajeto seja percorrido. Podemos calculá-la por meio da divisão entre a variação da velocidade angular com o tempo e também pelas funções horárias da posição angular e da velocidade angular.

Leia também: Afinal, o que é aceleração?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre aceleração angular
• 2 - O que é aceleração angular?
• 3 - Fórmula da aceleração angular
  • Aceleração angular média
  • Função horária da velocidade no MCUV
  • Função horária da posição no MCUV
• 4 - Como se calcula a aceleração angular?
• 5 - Diferenças entre aceleração angular e aceleração linear
• 6 - Equação de Torricelli
• 7 - Exercícios resolvidos sobre aceleração angular

Resumo sobre aceleração angular

• Quando a velocidade angular varia, há uma aceleração angular considerável.
• No movimento circular uniforme, a aceleração angular é nula, mas no movimento circular uniformemente variado, há aceleração angular.
• A aceleração angular ocorre em percursos circulares; já a aceleração linear, em percursos retilíneos.
• A equação de Torricelli, usada em movimentos lineares, também pode ser empregada em movimentos circulares.

O que é aceleração angular?

A aceleração angular é uma grandeza física vetorial que descreve a velocidade angular ocorrida em uma trajetória circular durante um intervalo de tempo.

Quando consideramos o movimento como uniforme, ou seja, com velocidade angular constante, temos uma aceleração angular nula, como no caso do movimento circular uniforme (MCU). Mas se considerarmos o movimento ocorrendo de maneira uniformemente variada, a velocidade angular varia. Assim, a aceleração angular se torna indispensável nos cálculos, como no caso do movimento circular uniformemente variável (MCUV).

Fórmula da aceleração angular

• Aceleração angular média

\(\alpha_m=\frac{∆ω}{∆t}\)

⇒ α_m é a aceleração angular média, medida em [rad/s²].

⇒ ∆ω é a variação da velocidade angular, medida em [rad/s].

⇒ ∆t é a variação de tempo, medida em segundos [s].

• Função horária da velocidade no MCUV

\(\omega_f=\omega_i+\alpha\bullet t\)

⇒ ωf é a velocidade angular final, medida em [rad/s].

⇒ ωi é a velocidade angular inicial, medida em [rad/s].

⇒ α é a aceleração angular, medida em [rad/s²].

⇒ t é o tempo, medido em segundos [s].

• Função horária da posição no MCUV

\(\varphi_f=\varphi_i+\omega_i\bullet t+\frac{\alpha\bullet t^2}{2}\)

⇒ φ_f é o deslocamento angular final, medido em radianos [rad].

⇒ φ_i é o deslocamento angular inicial, medido em radianos [rad].

⇒ ω_i é a velocidade angular inicial, medida em [rad/s].

⇒ α é a aceleração angular, medida em [rad/s²].

⇒ t é o tempo, medido em segundos [s].

Como se calcula a aceleração angular?

Podemos calcular a aceleração angular por meio das suas fórmulas. Para melhor compreender como funciona isso, veremos abaixo alguns exemplos.

Exemplo 1: Se uma roda com velocidade angular de 0,5rad/s girar durante 1,25 segundos, qual será sua aceleração angular média?

Resolução

Encontraremos a aceleração angular pela fórmula:

\(\alpha_m=∆ωt\)

\(\alpha_m=\frac{0,5}{1,25}\)

\(\alpha_m=0,4{rad}/{s^2}\)

A aceleração média vale \(0,4{rad}/{s^2}\).

Exemplo 2: Um indivíduo partiu em uma bicicleta e levou 20 segundos para chegar ao seu destino. Sabendo que o deslocamento angular final da roda era 100 radianos, qual foi a aceleração sofrida por ela?

Resolução:

Como ele partiu do repouso, sua velocidade angular e deslocamento iniciais são zero. Encontraremos a aceleração usando a fórmula da função horária da posição no MCU:

\(\varphi_f=\varphi_i+\omega_i\bullet t+\frac{\alpha\bullet t^2}{2}\)

\(100=0+0\bullet20+\frac{\alpha\bullet{20}^2}{2}\)

\(100=20+\frac{\alpha\bullet400}{2}\)

\(100-20=\frac{\alpha\bullet400}{2}\)

\(80=\alpha\bullet200\)

\(\frac{80}{200}=\alpha\)

\(\alpha=0,4{rad}/{s^2}\)

A aceleração vale \(0,4{rad}/{s^2}\).

Leia também: Aceleração centrípeta — aquela que está presente em todos os movimentos circulares

Diferenças entre aceleração angular e aceleração linear

A aceleração escalar ou linear acontece quanto há um movimento linear, sendo calculada por meio da velocidade linear dividida pelo tempo. Já a aceleração angular surge em movimentos circulares e pode encontrada por meio da velocidade angular dividida pelo tempo.

As acelerações angular e linear se relacionam por meio da fórmula:

\(\alpha=\frac{a}{R}\)

• α é a velocidade angular, medida em [rad/s²].
• a é a aceleração linear, medida em [m/s²].
• R é o raio da circunferência.

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli, utilizada para movimentos lineares, também pode ser usada para movimentos circulares, caso mudada a representação e o significado das variáveis. Dessa forma, a equação pode ser assim reescrita:

\(\omega_f^2=\omega_0^2+2\bullet\alpha\bullet∆φ\)

• ω_f é a velocidade angular final, medida em radianos por segundo [rad/s].
• ω₀ é a velocidade angular incial, medida em radianos por segundo [rad/s].
• α é a aceleração angular, medida em [rads/²].
• ∆_φ é a variação do deslocamento angular, medida em radianos [rad].

Exercícios resolvidos sobre aceleração angular

Questão 1

Uma centrifugadora possui velocidade máxima de centrifugação de 30 radianos por segundo, que é atingida após 10 voltas completas. Qual é a sua aceleração média? Utilize π = 3.

a) 12

b) 20

c) 7,5

d) 6

e) 10

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, encontraremos o valor do deslocamento angular por meio de uma regra de três simples:

\(1volta-2\bullet\pi rad\)

\(10voltas-∆φ\)

\(∆φ=10∙2∙πrad\)

\(∆φ=20∙πrad\)

Para calcularmos a aceleração angular nesse caso, utilizaremos a fórmula de Torricelli:

\(\omega_f^2=\omega_0^2+2\bullet\alpha\bullet∆φ\)

A velocidade máxima corresponde à velocidade angular final, que vale 60. Portanto, a velocidade angular inicial era 0:

\({30}^2=0^2+2\bullet\alpha\bullet20\bullet\pi\)

\(900=0+\alpha\bullet40\bullet\pi\)

\(900=\alpha\bullet40\bullet3\)

\(900=\alpha\bullet120\)

\(\frac{900}{120}=\alpha\)

\(7,5{rad}/{s^2}=\alpha\)

Questão 2

Uma partícula tem uma aceleração angular que varia com o tempo, conforme a equação \(\alpha=6t+3t^2\). Encontre a velocidade angular e a aceleração angular no instante \( t=2s\).

Resolução:

De início, encontraremos a aceleração angular no instante \( t=2s\), subtituindo seu valor na equação:

\(\alpha=6t+3t^2\)

\(\alpha=6\bullet2+3{\bullet2}^2\)

\(\alpha=12+12\)

\(\alpha=24{rad}/{s^2}\)

Já a velocidade angular no instante \(t=2s\) pode ser encontrada por meio da fórmula da aceleração média:

\(\alpha_m=∆ω∆t\)

\(24=\frac{\omega}{2}\)

\(\omega=2\bullet24\)

\(\omega=48 {rad}/{s}\)

 

Por Pâmella Raphaella Melo
Professora de Física