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Teorema das raízes racionais

Matemática

O Teorema das Raízes Racionais é indicado para identificar todas as raízes de uma equação polinomial, desde que elas existam.
Aprenda a encontrar todas as raízes reais de uma equação polinomial
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Considere a equação polinomial a seguir em que todos os coeficientes an são inteiros:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0

O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número racional p/q como raiz (com p  q   e mdc(p,q) = 1), então a0 é divisível por p e an é divisível por q.

Observações:

1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação polinomial tenha raízes, mas caso elas existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação;

2º) Se an = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a equação possui apenas raízes inteiras.

3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de a0.

Aplicação do Teorema das Raízes Racionais:

Vamos utilizar o teorema para encontrar todas as raízes da equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.

Primeiramente, vamos identificar as possíveis raízes racionais dessa equação, isto é, as raízes da forma p/q. De acordo com o teorema, a0 é divisível por p; dessa forma, como a0 = 12, então os possíveis valores de p são {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Analogamente, temos que an é divisível por q e an = 2, então q pode ter os seguintes valores: {±1, ±2}. Sendo assim, dividindo os valores de p por q, obtemos os possíveis valores p/q raízes da equação: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2 , –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.

Para confirmar se os valores que encontramos são realmente a raiz da equação polinomial, vamos substituir cada valor no lugar do x da equação. Através do cálculo algébrico, se o polinômio resultar em zero, então o número substituído é, realmente, a raiz da equação.

 

2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0

 

Para x = + ½

2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0

Para x = – ½

2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4

Para x = + 1

2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12

Para x = – 1

2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18

Para x = + 3/2

2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4

Para x = – 3/2

2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2

Para x = + 2

2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0

Para x = – 2

2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0

Para x = + 3

2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150

Para x = – 3

2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0

Para x = + 4

2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588

Para x = – 4

2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108

Para x = + 6

2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168

Para x = – 6

2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248

Para x = + 12

2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300

Para x = – 12

2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500

 

Portanto, as raízes da equação polinomial 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 são {– 3, – 2, ½, 2}. Através do teorema da decomposição de um polinômio, poderíamos escrever essa equação como (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2) = 0.


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Teorema das raízes racionais"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2017.

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