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Distância entre dois pontos

Matemática

A distância entre dois pontos é o comprimento da menor linha reta que os liga e é um princípio fundamental da Geometria Analítica.
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A distância permeia todos os conceitos da Geometria Analítica, pois, nessa área da Matemática, temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da Geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos da Geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta. Na Geometria Analítica, esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e, por meio dessas coordenadas, podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Distância entre dois pontos: representação geométrica

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Dois pontos no plano cartesiano

A distância entre os pontos A e B é a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Representação dos pontos e da distância

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Triângulo retângulo AOB

Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

d2AB = AO2 = BO2

Entretanto, temos:

AO = XB – XA e BO = YB – YA

Portanto, a expressão fica da seguinte forma:

d2AB = (XB – XA)2 + (YB -YA)2

Por fim, temos que:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado.

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Representação geométrica do exemplo dado


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Distância entre dois pontos"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm>. Acesso em 07 de dezembro de 2016.

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