O que é MMC (mínimo múltiplo comum)?

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre números inteiros é o menor número, também inteiro, que é múltiplo de todos esses números ao mesmo tempo. Por exemplo, o MMC entre 2 e 12 é 12, pois os múltiplos de 2 são 2, 4, 6, 8, 10, 12… e os de 12 são: 12, 24, …

Em outras palavras, considere um conjunto A de números naturais não negativos e os conjuntos A₁, A₂, … formados pelos múltiplos de cada um dos elementos do conjunto A. O menor elemento comum dentro dos conjuntos A₁, A₂, … é o mínimo múltiplo comum dos elementos do conjunto A. Em outras palavras, o menor elemento da intersecção A₁ ∩ A₂ ∩ A₂ ∩… é o MMC de A.

Essa definição e o exemplo dado antes dela ilustram um dos métodos que podem ser usados para encontrar o MMC de um conjunto de números.

A notação usada para representar o mínimo múltiplo comum é: MMC(a, b, c) = d, sendo “d” o MMC de “a”, “b” e “c”.

Veja também: O que são conjuntos numéricos?

Tópicos deste artigo

• 1 - Como encontrar o mínimo múltiplo comum
• 2 - Método prático para calcular o mínimo múltiplo comum
• 3 - Características e propriedades do MMC

Como encontrar o mínimo múltiplo comum

O método mais básico que pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é escrever os seus múltiplos até encontrar o primeiro que é comum a todos os números observados.

O MMC entre os números 2, 4 e 12 pode ser encontrado fazendo-se:
 

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …}

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, …}

M(12) = {12, 24, 36, 48, …}
 

Note que a intersecção entre os três conjuntos de múltiplos é:
 

M(2) ∩ M(4) ∩ M(12) = {12, 24, …}
 

O menor número dessa intersecção é 12, portanto, MMC(2, 4, 12) = 12.

Também podemos simplificar o pensamento e apenas apontar o número 12 como “menor múltiplo de 2, 4 e 12”, evitando a necessidade de incluir a intersecção entre os conjuntos de múltiplos na solução.

Método prático para calcular o mínimo múltiplo comum

O método prático para calcular o mínimo múltiplo comum baseia-se na decomposição em fatores primos desses números, mas existe um algoritmo que pode facilitar o processo de encontrá-lo.

Esse algoritmo consiste em colocar os números cujo MMC será calculado lado a lado e separados por vírgula. Depois, encontramos o menor número primo que divide pelo menos um deles e realizamos a divisão, colocando o resultado logo abaixo dele. Se algum dos elementos não for divisível por esse número, basta repeti-lo no lugar do resultado. Repete-se esse processo até que o resultado de todas as divisões seja 1. O MMC será o produto de todos os números primos usados nas divisões.

Veja um exemplo:

Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre 144, 26 e 10, faremos:

144, 26, 10 | 2
    72, 13, 5 | 2
    36, 13, 5 | 2
    18, 13, 5 | 2
      9, 13, 5 | 3
      3, 13, 5 | 3
      1, 13, 5 | 5
        1, 13, 1 | 13
     1, 1, 1 |

Logo, MMC(144, 26, 10) = 2·2·2·2·3·3·5·13 = 9360.

Características e propriedades do MMC

A lista a seguir mostra algumas características do mínimo múltiplo comum e, em seguida, algumas das propriedades dessa operação.

1 – O MMC também poderia ser escrito na forma fatorada 2⁴·3²·5·13.

2 – Ao fazer a decomposição em fatores primos dos três números, encontraremos:
 

144 = 2⁴·3²

26 = 2·13

10 = 2·5

Assim, o mínimo múltiplo comum pode ser definido como o produto entre os fatores primos dos números excluindo-se aqueles que possuem o menor expoente.

Note, por exemplo, que tanto 144 quanto 26 e 10 possuem o fator primo 2, mas no MMC só foi aproveitado 2⁴, que é aquele que possui o maior expoente.

3 – A observação anterior leva às seguintes propriedades:

a) MMC(a, a, … a) = a

b) MMC(a, a², a³, …, aⁿ) = aⁿ

c) MMC entre números que são primos entre si, ou seja, que não possuem fatores primos em comum, é sempre igual a 1.

d) O MMC entre números que são múltiplos é sempre o maior entre eles. O MMC de 5 e 10, por exemplo, é 10.

Por Luis Paulo Silva
Graduado em Matemática