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Matriz simétrica

Matriz simétrica é a que possui cada elemento na posição ij igual ao elemento na posição ji para todo i e todo j.

Exemplo de uma matriz simétrica.
Toda matriz simétrica é quadrada e igual à sua transposta.
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Matriz simétrica é uma matriz em que cada elemento \(a_{ij}\) é igual ao elemento \(a_{ji}\) para todos os valores de i e de j. Consequentemente, toda matriz simétrica é igual à sua transposta. Vale ressaltar também que toda matriz simétrica é quadrada e que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.

Leia também: Adição e subtração de matrizes — como calcular?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre matriz simétrica

  • Em uma matriz simétrica, \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e j.

  • Toda matriz simétrica é quadrada.

  • Toda matriz simétrica é igual à sua transposta.

  • Os elementos de uma matriz simétrica são simétricos em relação à diagonal principal.

  • Enquanto na matriz simétrica \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e j; em uma matriz antissimétrica, \(a_{ij}=-a_{ji}\) para todo i e j.

O que é uma matriz simétrica?

Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada em que \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) para todo i e todo j. Isso significa que \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), e assim por diante, para todos os valores possíveis de i e j. Lembre-se de que os valores possíveis de i correspondem às linhas da matriz e os valores possíveis de j correspondem às colunas da matriz.

  • Exemplos de matrizes simétricas

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\) , \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

  • Exemplos de matrizes não simétricas (considere \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Importante: Dizer que uma matriz não é simétrica significa mostrar que \(a_{ij}≠a_{ji}\) para pelo menos algum i e j (o que podemos observar comparando os exemplos anteriores). Isso é diferente do conceito de matriz antissimétrica, que veremos mais adiante.

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Quais são as propriedades da matriz simétrica?

  • Toda matriz simétrica é quadrada

Perceba que a definição de matriz simétrica está baseada em matrizes quadradas. Assim, toda matriz simétrica possui o número de linhas igual ao número de colunas.

  • Toda matriz simétrica é igual à sua transposta

Se A é uma matriz, sua transposta (\(A^T\)) é definida como a matriz cujas linhas são as colunas de A e cujas colunas são as linhas de A. Assim, se A é uma matriz simétrica, temos que \(A=A^T\).

  • Na matriz simétrica, os elementos estão “refletidos” em relação à diagonal principal

Como \(a_{ij}=a_{ji}\) em uma matriz simétrica, os elementos acima da diagonal principal são “reflexões” dos elementos abaixo da diagonal (ou vice-versa) em relação à diagonal, de modo que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.

Quais são as diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica?

Se A é uma matriz simétrica, então \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e todo j, conforme estudamos. Já no caso da matriz antissimétrica, a situação é diferente. Se B é uma matriz antissimétrica, então \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) para todo i e todo j.

Observe que isso resulta em \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), isto é, os elementos da diagonal principal são nulos. Uma consequência disso é que a transposta de uma matriz antissimétrica é igual a sua oposta, ou seja, se B é uma matriz antissimétrica, então \(B^T=-B\).

  • Exemplos de matrizes antissimétricas

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Veja também: Matriz identidade — a matriz em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0

Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica

Questão 1

(Unicentro)

Se a matriz \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) é simétrica, então o valor de xy é:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

Resolução:

Alternativa A

Se a matriz informada é simétrica, então os elementos em posições simétricas são iguais (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Portanto, temos que:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Substituindo a primeira equação na segunda, concluímos que \(y=3\), logo:

\(x=2\) e \(xy=6\)

Questão 2

(UFSM) Sabendo-se que a matriz \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) é igual à sua transposta, o valor de \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Resolução:

Alternativa C

Como a matriz dada é igual à sua transposta, então se trata de uma matriz simétrica. Assim, os elementos em posições simétricas são iguais (\(a_{ij}=a_{ji}\)), ou seja:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Pela primeira equação, x=-6 ou x=6. Pela terceira equação, obtemos a resposta correta: x= -6. Já pela segunda equação, y=11.

Logo:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Matriz simétrica"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Acesso em 21 de maio de 2024.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

Sabendo que a matriz A é simétrica, determine o valor de x.

\(A=\left[\begin{matrix}2&x\\8&7\\\end{matrix}\right]\)

A) 2

B) 8

C) 7

D) -2

E) -7

 

Exercício 2

Determine o valor de x e y sabendo que a matriz M é simétrica.

\(M=\left(\begin{matrix}3&x-2&9\\8&4&7\\9&y+2&5\\\end{matrix}\right)\)

A) x = 8 e y = 7

B) x = 6 e y = 9

C) x = 10 e y = 9

D) x = 10 e y = 5

E) x = 5 e y = 7