Matriz simétrica

Matriz simétrica é uma matriz em que cada elemento $a_{ij}$ é igual ao elemento $a_{ji}$ para todos os valores de i e de j. Consequentemente, toda matriz simétrica é igual à sua transposta. Vale ressaltar também que toda matriz simétrica é quadrada e que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.

Leia também: Adição e subtração de matrizes — como calcular?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre matriz simétrica
• 2 - O que é uma matriz simétrica?
• 3 - Quais são as propriedades da matriz simétrica?
• 4 - Quais são as diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica?
• 5 - Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica

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Resumo sobre matriz simétrica

• Em uma matriz simétrica, $a_{ij}=a_{ji}$ para todo i e j.

• Toda matriz simétrica é quadrada.

• Toda matriz simétrica é igual à sua transposta.

• Os elementos de uma matriz simétrica são simétricos em relação à diagonal principal.

• Enquanto na matriz simétrica $a_{ij}=a_{ji}$ para todo i e j; em uma matriz antissimétrica, $a_{ij}=-a_{ji}$ para todo i e j.

O que é uma matriz simétrica?

Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada em que $\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}$ para todo i e todo j. Isso significa que $a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}$, e assim por diante, para todos os valores possíveis de i e j. Lembre-se de que os valores possíveis de i correspondem às linhas da matriz e os valores possíveis de j correspondem às colunas da matriz.

• Exemplos de matrizes simétricas

$\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}$

• Exemplos de matrizes não simétricas (considere $\mathbf{b≠g}$)

$\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}$

Importante: Dizer que uma matriz não é simétrica significa mostrar que $a_{ij}≠a_{ji}$ para pelo menos algum i e j (o que podemos observar comparando os exemplos anteriores). Isso é diferente do conceito de matriz antissimétrica, que veremos mais adiante.

Quais são as propriedades da matriz simétrica?

• Toda matriz simétrica é quadrada

Perceba que a definição de matriz simétrica está baseada em matrizes quadradas. Assim, toda matriz simétrica possui o número de linhas igual ao número de colunas.

• Toda matriz simétrica é igual à sua transposta

Se A é uma matriz, sua transposta ($A^T$) é definida como a matriz cujas linhas são as colunas de A e cujas colunas são as linhas de A. Assim, se A é uma matriz simétrica, temos que $A=A^T$.

• Na matriz simétrica, os elementos estão “refletidos” em relação à diagonal principal

Como $a_{ij}=a_{ji}$ em uma matriz simétrica, os elementos acima da diagonal principal são “reflexões” dos elementos abaixo da diagonal (ou vice-versa) em relação à diagonal, de modo que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.

Quais são as diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica?

Se A é uma matriz simétrica, então $a_{ij}=a_{ji}$ para todo i e todo j, conforme estudamos. Já no caso da matriz antissimétrica, a situação é diferente. Se B é uma matriz antissimétrica, então $\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}$ para todo i e todo j.

Observe que isso resulta em $b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0$, isto é, os elementos da diagonal principal são nulos. Uma consequência disso é que a transposta de uma matriz antissimétrica é igual a sua oposta, ou seja, se B é uma matriz antissimétrica, então $B^T=-B$.

• Exemplos de matrizes antissimétricas

$\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}$

Veja também: Matriz identidade — a matriz em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0

Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica

Questão 1

(Unicentro)

Se a matriz $\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}$ é simétrica, então o valor de xy é:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

Resolução:

Alternativa A

Se a matriz informada é simétrica, então os elementos em posições simétricas são iguais ($a_{ij}=a_{ji}$). Portanto, temos que:

$x = y - 1$

$x + 5 = 7$

Substituindo a primeira equação na segunda, concluímos que $y=3$, logo:

$x=2$ e $xy=6$

Questão 2

(UFSM) Sabendo-se que a matriz $\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}$ é igual à sua transposta, o valor de $2x+y$ é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Resolução:

Alternativa C

Como a matriz dada é igual à sua transposta, então se trata de uma matriz simétrica. Assim, os elementos em posições simétricas são iguais ($a_{ij}=a_{ji}$), ou seja:

$x^2=36$

$4-y=-7$

$-30=5x$

Pela primeira equação, x=-6 ou x=6. Pela terceira equação, obtemos a resposta correta: x= -6. Já pela segunda equação, y=11.

Logo:

$2x+y=2.(-6)+11=-1$

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática