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Matriz simétrica é uma matriz em que cada elemento \(a_{ij}\) é igual ao elemento \(a_{ji}\) para todos os valores de i e de j. Consequentemente, toda matriz simétrica é igual à sua transposta. Vale ressaltar também que toda matriz simétrica é quadrada e que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.
Leia também: Adição e subtração de matrizes — como calcular?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre matriz simétrica
- 2 - O que é uma matriz simétrica?
- 3 - Quais são as propriedades da matriz simétrica?
- 4 - Quais são as diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica?
- 5 - Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica
Resumo sobre matriz simétrica
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Em uma matriz simétrica, \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e j.
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Toda matriz simétrica é quadrada.
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Toda matriz simétrica é igual à sua transposta.
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Os elementos de uma matriz simétrica são simétricos em relação à diagonal principal.
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Enquanto na matriz simétrica \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e j; em uma matriz antissimétrica, \(a_{ij}=-a_{ji}\) para todo i e j.
O que é uma matriz simétrica?
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada em que \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) para todo i e todo j. Isso significa que \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), e assim por diante, para todos os valores possíveis de i e j. Lembre-se de que os valores possíveis de i correspondem às linhas da matriz e os valores possíveis de j correspondem às colunas da matriz.
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Exemplos de matrizes simétricas
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\) , \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
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Exemplos de matrizes não simétricas (considere \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Importante: Dizer que uma matriz não é simétrica significa mostrar que \(a_{ij}≠a_{ji}\) para pelo menos algum i e j (o que podemos observar comparando os exemplos anteriores). Isso é diferente do conceito de matriz antissimétrica, que veremos mais adiante.
Quais são as propriedades da matriz simétrica?
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Toda matriz simétrica é quadrada
Perceba que a definição de matriz simétrica está baseada em matrizes quadradas. Assim, toda matriz simétrica possui o número de linhas igual ao número de colunas.
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Toda matriz simétrica é igual à sua transposta
Se A é uma matriz, sua transposta (\(A^T\)) é definida como a matriz cujas linhas são as colunas de A e cujas colunas são as linhas de A. Assim, se A é uma matriz simétrica, temos que \(A=A^T\).
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Na matriz simétrica, os elementos estão “refletidos” em relação à diagonal principal
Como \(a_{ij}=a_{ji}\) em uma matriz simétrica, os elementos acima da diagonal principal são “reflexões” dos elementos abaixo da diagonal (ou vice-versa) em relação à diagonal, de modo que a diagonal principal atua como um eixo de simetria.
Quais são as diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica?
Se A é uma matriz simétrica, então \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i e todo j, conforme estudamos. Já no caso da matriz antissimétrica, a situação é diferente. Se B é uma matriz antissimétrica, então \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) para todo i e todo j.
Observe que isso resulta em \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), isto é, os elementos da diagonal principal são nulos. Uma consequência disso é que a transposta de uma matriz antissimétrica é igual a sua oposta, ou seja, se B é uma matriz antissimétrica, então \(B^T=-B\).
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Exemplos de matrizes antissimétricas
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica
Questão 1
(Unicentro)
Se a matriz \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) é simétrica, então o valor de xy é:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resolução:
Alternativa A
Se a matriz informada é simétrica, então os elementos em posições simétricas são iguais (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Portanto, temos que:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Substituindo a primeira equação na segunda, concluímos que \(y=3\), logo:
\(x=2\) e \(xy=6\)
Questão 2
(UFSM) Sabendo-se que a matriz \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) é igual à sua transposta, o valor de \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resolução:
Alternativa C
Como a matriz dada é igual à sua transposta, então se trata de uma matriz simétrica. Assim, os elementos em posições simétricas são iguais (\(a_{ij}=a_{ji}\)), ou seja:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Pela primeira equação, x=-6 ou x=6. Pela terceira equação, obtemos a resposta correta: x= -6. Já pela segunda equação, y=11.
Logo:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
