Aritmética

A aritmética é uma área fundamental da Matemática. Nela se estuda as operações básicas com números. Ela abrange conteúdos como adição, subtração, multiplicação e divisão, potenciação, radiciação, além de conceitos mais complexos envolvendo os números e as operações, como a teoria dos números, área estudada na Matemática em nível superior. A aritmética é uma das áreas mais antigas da Matemática, e continua sendo uma área central para o desenvolvimento da Matemática e a solução de problemas cotidianos.

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Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre aritmética
• 2 - O que é a aritmética?
• 3 -  Conteúdos de aritmética
  • → Números inteiros, fracionários e decimais
  • → Operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão
  • → Múltiplos e divisores
  • → Potenciação e radiciação
  • → Teoria dos números: divisibilidade, números primos e fatoração
• 4 - Equação aritmética
• 5 - História da aritmética
• 6 - Exercícios sobre aritmética

Resumo sobre aritmética

• A aritmética é parte básica da Matemática que lida com números.
• Foca em operações simples e resolução de problemas cotidianos envolvendo os números.
• Inclui tópicos como adição, subtração, multiplicação e divisão.
• É a base para o aprendizado de áreas matemáticas mais avançadas, como a teoria dos números.

O que é a aritmética?

Conhecemos como aritmética a área da Matemática que estuda os números e as operações realizadas entre eles. A aritmética é utilizada em diversas situações do dia a dia, como na contagem de objetos, no cálculo de dinheiro, em medições e na contabilidade.

A aritmética é considerada a base para outros tópicos importantes da Matemática. Nela os números são manipulados por meio de operações que permitem resolver problemas utilizando a adição a subtração, a multiplicação e a divisão.

 Conteúdos de aritmética

A aritmética abrange diversos tópicos essenciais para o entendimento dos números e suas propriedades. A seguir, um detalhamento sobre os principais conteúdos abordados:

→ Números inteiros, fracionários e decimais

• Números inteiros: incluem todos os números sem partes fracionárias, como −3, 0, 5, -3, 0. Os inteiros podem ser positivos, negativos ou zero.
• Números fracionários: representam partes de um todo, como 12 , 34 , e são usados para expressar divisões que não resultam em números inteiros.
• Números decimais: são uma forma de representar frações com base 10, como 0,5 ou 3,14. Eles são muito usados para medições e na área comercial e financeira.

→ Operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão

Essas operações são a base para quase todos os cálculos aritméticos e são aplicadas em diversos contextos, como no comércio, nas finanças e na resolução de problemas matemáticos.

• Adição: é a operação em que somamos duas ou mais quantidades. Representamos a adição entre dois números pelo símbolo “+”, e utilizamos essa operação para aumentar o valor total de uma quantidade, juntando-a com outra quantidade.

Exemplo:

Em uma fila há 3 pessoas, se chegar mais 2 pessoas, e nenhuma delas sair da fila, para encontrar o total de pessoas, calcularemos quanto é três mais dois, ou seja, 3 + 2 = 5, logo, há 5 pessoas na fila.

• Subtração: é a operação de remover ou reduzir uma quantidade de outra. É representada pelo símbolo “–” e é usada para encontrar a diferença entre dois números.

Exemplo:

Em uma fila, havia 10 pessoas, se 3 dessas pessoas foram atendidas, para saber quantas pessoas restaram na fila, calcularemos quanto é dez menos três, ou seja, 10 – 3 = 7, logo, restaram 7 pessoas na fila.

• Multiplicação: é a operação que envolve a adição de um número por ele mesmo um número de vezes. Para representar a multiplicação, utilizamos o símbolo “× ” ou “⋅ ”.

Exemplo:

Se temos 4 grupos com 3 pessoas em cada grupo, então, para calcular o total de pessoas, basta calcularmos o valor de quatro vezes três, ou seja 4 ×  3 = 12, logo, há 12 pessoas.

• Divisão: essa operação nos mostra quantas vezes um número pode ser divido em partes iguais por outro número, e é representada pelos símbolos “÷ ” ou “ : ”. A divisão é a operação inversa da divisão.

Exemplo:

Em uma sala há 12 pessoas, se elas forem divididas em 4 grupos, para saber quantas pessoas teremos em cada grupo, calcularemos doze divido por quatro, ou seja, 12 : 4 = 3, logo, há 3 pessoas em cada um dos grupos.

→ Múltiplos e divisores

• Múltiplos: são os resultados da multiplicação de um número por um inteiro. Por exemplo, os múltiplos de 3 são 3, 6, 9, 12.
• Divisores: são os números que podem dividir outro número de forma exata, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

→ Potenciação e radiciação

• Potenciação: é uma operação que surge da multiplicação. Utilizamos a potenciação para representar a multiplicação de um número por ele mesmo várias vezes, por exemplo: 2³ é o produto de 2 por ele mesmo 3 vezes. A potenciação é uma operação essencial para a Matemática.
• Radiciação: é a operação inversa da potenciação e que encontra a raiz de um número. Por exemplo, a raiz quadrada de 16 é 4 16=4 , pois sabemos que 4² = 16.

Essas operações são fundamentais em muitos campos da Matemática, incluindo álgebra e geometria.

→ Teoria dos números: divisibilidade, números primos e fatoração

• Divisibilidade: estuda as condições sob as quais um número é divisível por outro. Por exemplo, um número é divisível por 2 se terminar em um dígito par.
• Números primos: são números que têm exatamente dois divisores: 1 e eles próprios. Exemplos de números primos incluem 2, 3, 5, 7 etc.
• Fatoração: consiste em expressar um número como o produto de seus fatores primos. Por exemplo, 12 pode ser fatorado como 22⋅3 .

Equação aritmética

As equações aritméticas envolvem expressões que utilizam as operações básicas para representar uma igualdade, que, nesse caso, tem valores desconhecidos, representados por incógnitas. Essas equações são usadas para resolver problemas de forma prática, encontrando valores desconhecidos.

Exemplos:

2x + 3 = 11

3x -5 = 4

História da aritmética

A aritmética teve início na Pré-História com indícios de concepções rudimentares de operações como adição e subtração. As primeiras evidências escritas mostram que egípcios e babilônios usavam operações aritméticas.

Os egípcios adotavam um sistema decimal baseado em hieróglifos, mas sem notação posicional, ou seja, o valor do símbolo não dependia da sua posição, diferentemente do nosso sistema de numeração atual, em que um mesmo algarismo pode representar uma quantidade diferente dependendo da sua posição no número (milhar, centena, dezena, unidade). Essa característica da aritmética egípcia tornava os cálculos mais complexos, semelhantes aos futuros numerais romanos, que exigiam o uso de dispositivos auxiliares, como o ábaco.

Outras culturas também desenvolveram sistemas numéricos com bases diferentes; por exemplo, os maias usavam um sistema de base 20. A ausência de notação posicional nesses sistemas mais antigos limitava a eficiência dos cálculos.

O desenvolvimento da aritmética avançou com a civilização grega. Arquimedes, por exemplo, contribuiu para a área ao criar uma notação para números grandes. Os numerais gregos derivaram dos sistemas egípcios e enfrentavam a mesma limitação de complexidade devido à ausência de notação posicional.

Um grande avanço ocorreu com o desenvolvimento independente dos algarismos indo-arábicos, que introduziram a notação posicional e o uso do zero, permitindo a representação consistente de números grandes e pequenos e simplificando as operações.

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Exercícios sobre aritmética

Questão 1

Uma empresa precisa distribuir 2400 folhetos igualmente entre 8 funcionários. Quantos folhetos cada funcionário receberá?

A) 200

B) 250

C) 300

D) 350

E) 400

Resolução:

Alternativa C

Calculando a divisão, temos que 2400 : 8 = 300.

Cada funcionário receberá 300 folhetos.

Questão 2

Em uma promoção, um supermercado vende pacotes de arroz com 25% de desconto. Se o preço original de um pacote de arroz é R$ 48, qual será o preço com o desconto?

A) R$ 34

B) R$ 36

C) R$ 38

D) R$ 40

Resolução:

Alternativa B

Calculando 25% de 48, temos que:

\(\frac{25}{100} \cdot 48 = \frac{1200}{100} = 12\)

Como há um desconto de 12 reais, então o valor pago será 48 - 12 = 36.

Fontes

ALENCAR FILHO, Edgard de (1992). Teoria Elementar dos Números 3ª ed. São Paulo