O que são medidas de centralidade?

Medidas de centralidade são números reais utilizados para representar listas inteiras de dados. Em outras palavras, ao analisar uma grandeza, podemos colher dados numéricos a respeito dela e colocar em uma lista. Por motivos diversos, pode ser necessário representar toda essa lista com um valor único, que é justamente uma medida de centralidade.

Exemplo:

Em uma pesquisa são anotados dados de 100 mil brasileiros e, a partir das informações obtidas nela, chega-se à conclusão de que a expectativa de vida do brasileiro é de 73,6 anos. Isso não significa que todo brasileiro vive pouco mais de 73 anos, mas, sim, que, em média, esse é o tempo de vida do brasileiro. Se formos buscar os dados completos da pesquisa, perceberemos que alguns brasileiros morrem ao nascer e outros ultrapassam os 100 anos de idade.

Ora, por que não observar apenas as pesquisas completas? Aproximadamente meio século atrás a expectativa de vida do brasileiro era de apenas 55 anos. Isso indica que houve avanços significativos na qualidade de vida, na medicina e nos cuidados com os idosos desde então. Portanto, muitos dados podem ser extraídos de uma medida de centralidade sem que seja necessário analisar todas as informações de 100 mil pessoas uma a uma.

As medidas de centralidade mais importantes para o Ensino Fundamental e Médio são:

→ Moda

A moda é o número que mais se repete em uma lista. Para obter a moda, portanto, apenas observe o número que mais se repete e ele será a moda. Atenção: não é a quantidade de repetições, mas, sim, o número que se repete.

Exemplo: A partir das idades dos alunos do sexto ano presentes na lista abaixo, determine a moda.

12 anos, 13 anos, 12 anos, 11 anos, 11 anos, 10 anos, 12 anos, 11 anos, 11 anos

Repare que são 9 alunos no total, dos quais 4 têm 11 anos e 3 têm 12 anos. Assim, a moda dessa lista é 11.

Vale destacar que:

• Uma lista que apresenta dois itens que mais se repetem é chamada de bimodal e possui duas modas;

• Uma lista que apresenta três ou mais itens que mais se repetem é chamada de multimodal.

→ Mediana

Organizando uma lista de números em ordem crescente ou decrescente, o valor que aparecer exatamente no meio da lista é a mediana.

Exemplo: A lista a seguir é composta pelas notas de alguns alunos do Ensino Fundamental da escola Z. Determine a mediana dessa lista.

Aluno A – 2,0

Aluno B – 3,0

Aluno C – 4,0

Aluno D – 4,0

Aluno E – 1,0

Aluno F – 2,0

Aluno G – 5,0

Observe que a lista não está em ordem. Ordenando-a, temos:

1,0; 2,0; 2,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0

O valor que aparece no centro dessa lista é 3,0. Portanto, essa é a mediana das notas dos alunos da escola Z.

Existe também a possibilidade de a lista possuir um número par de informações. Nesse caso, pegue os dois números que aparecerem no centro, some-os e divida-os por 2. Observe:

Na escola Z, alguns alunos do Ensino Fundamental tiraram as notas a seguir. Calcule a mediana dessas notas.

Aluno A – 2,0

Aluno B – 3,0

Aluno C – 4,0

Aluno D – 4,0

Aluno E – 1,0

Aluno F – 2,0

Organizando a lista em ordem crescente, temos:

1,0; 2,0; 2,0; 3,0; 4,0; 4,0

Os dois valores mais ao centro são 2,0 e 3,0. Somando-os e dividindo-os por 2, temos:

2,0 + 3,0 = 5,0 = 2,5
      2           2          

Portanto, a mediana é 2,5.

→ Média aritmética

A média aritmética é também conhecida como valor médio e é obtida pela soma dos n dados de uma lista e divisão desse resultado por n. Em outras palavras, some todos os números e divida o resultado pelo número de informações que foram somadas.

Exemplo: Sabendo que é calculada por média aritmética, qual é a nota final de um aluno que tem as seguintes médias:

1º Bimestre: 7,0

2º Bimestre: 5,0

3º Bimestre: 4,0

4º Bimestre: 9,0

Siga o procedimento sugerido acima:

7,0 + 5,0 + 4,0 + 9,0 = 25 = 6,25
              4                   4          

→ Média ponderada

É a mesma média aritmética, contudo, consideramos que alguns valores aparecem mais de uma vez ou possuem peso diferente de outros.

Exemplo: Muitas vezes os professores querem que a prova final tenha valor maior que a primeira, então, dizem que o peso da primeira prova é 1 e o da segunda é 2. Em outras palavras, a segunda prova vale o dobro da primeira.

Para calcular a média ponderada, multiplique cada dado por seu respectivo peso, some os resultados desses produtos e, por fim, divida o valor obtido nesse último passo pela soma dos pesos.

Exemplo:

A partir do exemplo anterior, calcule a nota do aluno se os pesos fossem:

1º Bimestre: 1

2º Bimestre: 3

3º Bimestre: 3

4º Bimestre: 1

Multiplique as notas pelos pesos e divida o resultado pela soma dos pesos:

1·7,0 + 3·5,0 + 3·4,0 + 1·9,0 = 43 = 5,37
           1 + 3 + 3 + 1                8           

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática