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Entre as formas de se encontrar o valor numérico de x, processo também conhecido como encontrar as raízes de uma equação ou encontrar a solução de uma equação, destacam-se: Fórmula de Bhaskara e o processo de completar quadrados. Esse último é o foco do texto de hoje.
A quantidade de soluções de uma equação é dada pelo grau dela. Portanto, equações do primeiro grau possuem apenas uma solução, equações do terceiro grau possuem três soluções e equações do segundo grau possuem duas soluções, também chamadas de raízes.
As equações do segundo grau, em sua forma reduzida, podem ser escritas da seguinte maneira:
ax2 + bx + c = 0
Método de completar quadrados
Caso em que a equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito
Equações do segundo grau resultantes de um produto notável são conhecidas como trinômio quadrado perfeito. Para encontrar suas raízes, utilizaremos o método exemplificado abaixo:
Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x + 9 = 0.
Observe que o coeficiente b é 6 = 2·3. Para escrevê-la na forma de produto notável, basta conferir se c = 32, o que é verdade, já que 32 = 9 = c. Dessa maneira, podemos escrever:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Observe que um produto notável é o produto entre dois polinômios iguais. No caso dessa equação, teremos:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Um produto somente é igual a zero quando um de seus fatores é igual a zero. Portanto, para que (x + 3)(x + 3) = 0, é necessário que (x + 3) = 0 ou (x + 3) = 0. Daí os dois resultados iguais para a equação x2 + 6x + 9 = 0, que são: x = – 3 ou x = – 3.
Resumindo: para resolver a equação x2 + 6x + 9 = 0, escreva:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 ou x = – 3
Caso em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito
Uma equação do segundo em que o coeficiente b e o coeficiente c não cumprem as relações estabelecidas acima não é um trinômio quadrado perfeito. Nesse caso, o método resolutivo anteriormente destacado pode ser utilizado com a adição de alguns passos. Observe o exemplo a seguir:
Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x – 7 = 0.
Observe que essa equação não é um trinômio quadrado perfeito. Para que ela seja, podemos utilizar as seguintes operações:
Observe que b = 2·3, portanto, no primeiro membro, a expressão que deve aparecer é x2 + 6x + 9, pois nessa expressão b = 2·3 e c = 32.
Para essa “transformação”, adicione 32 nos dois membros dessa equação, “passe” o – 7 para o segundo membro, realize as operações possíveis e observe os resultados:
x2 + 6x – 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4
Essa última etapa deve ser dividida em duas equações, pois a raiz de 16 tanto pode ser 4 como – 4 (isso ocorre apenas em equações. Caso lhe perguntem qual é a raiz de 16, a resposta é apenas 4). Então, é necessário encontrar todos os resultados possíveis. Continuando:
x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4
x = 4 – 3 ou x = – 4 – 3
x = 1 ou x = – 7
Caso em que o coeficiente “a” não é igual a 1
Os casos anteriores são destinados a equações do segundo grau onde o coeficiente “a” é igual a 1. Se o coeficiente “a” for diferente de 1, basta dividir toda equação pelo valor de “a” e prosseguir com os cálculos da mesma forma que o caso anterior.
Exemplo: Calcule as raízes de 2x2 + 16x – 18 = 0
Observe que a = 2. Portanto, divida toda a equação por 2 e simplifique os resultados:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x – 9 = 0
Feito isso, repita os procedimentos do caso anterior.
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 ou x + 4 = –5
x = 5 – 4 ou x = – 5 – 4
x = 1 ou x = – 9
Produtos notáveis e as equações do segundo grau: Origem do método de completar quadrados
As equações do segundo grau em muito se parecem com os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença.
O quadrado da soma, por exemplo, é uma soma de dois monômios elevada ao quadrado. Observe:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
O primeiro membro da igualdade acima é conhecido como produto notável e o segundo como trinômio quadrado perfeito. Este ultimo em muito se parece com uma equação do segundo grau. Observe:
Trinômio quadrado perfeito: x2 + 2kx + k2
Equação do segundo Grau: ax2 + bx + c = 0
Dessa maneira, caso haja alguma maneira de escrever uma equação do segundo grau como um produto notável, talvez haja também uma forma de encontrar seus resultados sem a necessidade de utilizar a fórmula de Bháskara.
Para tanto, observe que, no produto notável acima, a = 1, b = 2·k e c = k2. Dessa maneira, é possível escrever equações que cumprem esses requisitos na forma de produto notável.
Portanto, observe os coeficientes da equação. Se “a” for diferente de 1, divida toda a equação pelo valor de “a”. Caso contrário, observe o coeficiente “b”. O valor numérico de metade deste coeficiente deve ser igual ao valor numérico da raiz quadrada do coeficiente “c”. Matematicamente, dada a equação ax2 + bx + c = 0, se a = 1 e, além disso:
b = √c
2
Então, pode-se escrever essa equação da seguinte maneira:
ax2 + bx + c = (x + b) = 0
2
E as suas raízes serão – b e + b.
2 2
Dai vem toda a teoria utilizada para calcular raízes de equações do segundo grau pelo método de completar quadrados.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
