Gravitação Universal

A Lei da Gravitação Universal estabelece que, se dois corpos possuem massa, eles sofrem a ação de uma força atrativa proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional a sua distância.

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre a Lei da Gravitação Universal
• 2 - Introdução à Gravitação Universal
• 3 - Fórmula da Gravitação Universal
• 4 - Gravitação Universal e a Terceira Lei de Kepler
• 5 - Constante de gravitação universal
• 6 - Exercícios sobre Gravitação Universal
• 7 - Resolução

Resumo sobre a Lei da Gravitação Universal

• Todos os corpos do universo atraem-se mutuamente com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de sua distância;

• A Lei da Gravitação Universal é definida em termos da Constante de Gravitação Universal, cujo módulo é igual a 6,67408.10^-11 N.m²/kg².

• A Lei da Gravitação Universal foi descoberta e desenvolvida pelo físico inglês Isaac Newton e foi capaz de prever os raios das órbitas de diversos astros, bem como explicar teoricamente a lei empírica descoberta por Johannes Kepler que relaciona o período orbital ao raio da órbita de dois corpos que se atraem gravitacionalmente.

Introdução à Gravitação Universal

A Lei da Gravitação Universal é uma lei física que foi descoberta pelo físico inglês Isaac Newton. Ela é utilizada para calcular o módulo da atração gravitacional existente entre dois corpos dotados de massa. A força gravitacional é sempre atrativa e age na direção de uma linha imaginária que liga dois corpos. Além disso, em respeito à Terceira Lei de Newton, conhecida como Lei da Ação e Reação, a força de atração é igual para os dois corpos interagentes, independente de suas massas. De acordo com Isaac Newton:

Por meio da proposição da Lei da Gravitação Universal, foi possível predizer o raio das órbitas planetárias, o período de asteroides, eventos astronômicos como eclipses, determinação da massa e raio de planetas e estrelas etc.

Fórmula da Gravitação Universal

A principal fórmula utilizada na gravitação universal estabelece que o módulo da força gravitacional entre duas massas é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A expressão utilizada para o cálculo da força gravitacional é esta:

|F| – módulo da força de atração gravitacional (N – Newton)
G – constante de gravitação universal (6,67408.10^-11 N.kg²/m²)
M – massa gravitacional ativa (kg – quilogramas)
m – massa gravitacional passiva (kg – quilogramas)
d² – distância entre as massas ao quadrado (m²)

Chamamos de peso a força de atração gravitacional que uma massa exerce sobre outra. Além disso, são denominadas de massa gravitacional ativa e passiva a massa que produz um campo gravitacional ao seu redor e a massa que é atraída por tal campo gravitacional, respectivamente.

A força peso, ou simplesmente o peso de um corpo sujeito a uma gravidade de módulo g, é dada por:

P – módulo da força peso (N – Newton)
m – massa gravitacional passiva (kg – quilogramas)
g – módulo da gravidade local (m/s² – metro por segundo ao quadrado)

Comparando as duas equações acima, podemos perceber que a gravidade de um corpo pode ser calculada pela fórmula a seguir:

A fórmula acima mostra que a gravidade de um planeta, estrela ou qualquer que seja o corpo depende de sua massa (M), da constante de gravitação universal (G) e do inverso do quadrado da distância em que nos encontramos até o centro desse corpo (d), que, no caso de corpos esféricos, é o seu próprio raio.

A Terra, por exemplo, possui massa de 5,972.10²⁴ kg e raio médio de 6371 km (6,371.10⁶ m), logo, podemos calcular o valor médio da gravidade na sua superfície:

Gravitação Universal e a Terceira Lei de Kepler

Um dos indicadores de sucesso da Lei da Gravitação Universal foi a sua capacidade de reproduzir a famosa relação matemática descoberta empiricamente por Johannes Kepler, conhecida como Lei Harmônica:

Para tanto, basta recordar que a força de atração gravitacional aponta sempre na direção que liga os dois corpos, tratando-se, portanto, de um tipo de força central, assim como a força centrípeta, que atua nos corpos em movimento circular. Assim:

Legenda:
v – velocidade de translação do corpo (m/s – metros por segundo)
ω – velocidade angular (rad/s – radianos por segundo)
T – período de translação (s – segundos)

A fórmula indica que a razão do quadrado do período de translação de um corpo em torno de sua massa gravitacional ativa (por exemplo, a translação da Terra em torno do Sol) pelo cubo do raio médio da órbita (distância média entre a Terra e Sol, por exemplo) tem módulo constante, que depende da constante de gravitação universal (G) e da massa gravitacional ativa M (a massa do Sol, por exemplo).

Veja também: Propriedades do movimento circular

Constante de gravitação universal

A constante de gravitação universal é uma constante de proporcionalidade de módulo igual a 6,67408.10^-11 N.m²/kg², presente na Lei da Gravitação Universal e usada para igualar a razão do produto da massa de dois corpos pelo quadrado de sua distância com o módulo da força de atração entre eles. A constante de gravitação universal é dada, em unidades do Sistema Internacional de Unidades, em N.m²/kg².

A constante da gravitação universal foi determinada entre 1797 e 1798 pelo experimento da balança de torção, realizado pelo físico e químico britânico Henry Cavendish. O experimento tinha como objetivo inicial a determinação da densidade da Terra, mas na época também pôde determinar a constante da gravitação universal com menos de 1% de erro em relação ao valor conhecido atualmente.

Exercícios sobre Gravitação Universal

Questão 1

A lua é um satélite natural que orbita o planeta Terra pela ação da grande força gravitacional exercida pela gravidade terrestre. Sendo a massa da Terra igual a 5,972.10²⁴ kg, a massa da lua 7,36.10²² kg e a distância média entre a Terra e a Lua igual a 384.400 km (3,84.10⁸ m), determine:

Dados: G = 6,67408.10^-11 N.m²/kg²

a) a força gravitacional que a Terra exerce sobre a Lua

b) a força gravitacional que a Lua exerce sobre a Terra

c) o módulo da aceleração adquirida pela Lua e pela Terra

Resolução

a) Para calcular a atração gravitacional que a Terra exerce sobre a Lua, usaremos a Lei da Gravitação Universal:

b) De acordo com a Terceira Lei de Newton, a Lei da Ação e Reação, se a Terra exerce uma força de ação sobre a Lua, esta deve exercer uma força atrativa sobre a Terra de mesmo módulo e direção, porém, no sentido oposto, logo, a força que a Lua faz sobre a Terra também é de 20.10¹⁹ N.

c) Se nos lembrarmos da Segunda Lei de Newton, que nos diz que o módulo da força resultante sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração, podemos calcular a aceleração adquirida pela Lua e pela Terra facilmente. Observe:

Os valores de aceleração calculados acima mostram que, apesar de as forças de atração serem iguais para a Terra e para a Lua, a aceleração adquirida por cada uma é diferente. Além disso, fazendo a razão entre os dois valores, vemos que a aceleração que a Lua sofre é cerca de 81 vezes maior que a sofrida pela Terra.

Por Me. Rafael Helerbrock