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O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem. O centro de massa de um corpo ou de um sistema de partículas é o ponto geométrico de que podemos tratar como se toda a massa do corpo estivesse nele. O seu cálculo depende da massa e da posição das partículas.
Leia também: Afinal, o que é massa?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre o centro de massa
- 2 - O que é centro de massa?
- 3 - Fórmula do centro de massa
- 4 - Como calcular o centro de massa de um objeto?
- 5 - Centro de massa x centro de gravidade
- 6 - Velocidade do centro de massa
- 7 - Aceleração do centro de massa
- 8 - Centro de massa e estabilidade de tombamento
- 9 - Exercícios resolvidos sobre centro de massa
Resumo sobre o centro de massa
- O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.
- O centro de massa é o ponto calculado através da média ponderada da posição das partículas com suas massas.
- O centro de massa e o centro de gravidade coincidem em figuras e corpos geométricos regulares.
- O centro de massa, a velocidade do centro de massa e a aceleração do centro de massa são calculados através de uma média ponderada.
- A análise do centro de massa é importante para a estabilidade de tombamento.
- O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência.
O que é centro de massa?
O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.
Ele pode ser definido da seguinte forma:
(...) o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
Então, podemos compreender o centro de massa como o local que representa a posição média ponderada de toda a massa do sistema.
O centro de massa precisa ser levado em consideração nas construções de pontes, edifícios, casas, móveis, automóveis, portas, janelas; enfim, tudo aquilo que necessita de equilíbrio.
Fórmula do centro de massa
\(x_{CM}=\frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3}{m_1+m_2+m_3}\)
- xCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo horizontal.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- x1, x2 e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
- y1, y2 e y3 → posições das partículas no eixo vertical.
E
\(y_{CM}=\frac{m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3}{m_1+m_2+m_3}\)
- yCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo vertical.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- x1, x2 e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
- y1, y2 e y3 → posições das partículas no eixo vertical.
Como calcular o centro de massa de um objeto?
Para calcular o centro de massa de um objeto ou sistema de partículas, calculamos a posição do centro de massa no eixo horizontal e depois no eixo vertical, o que nos dará um par de coordenadas correspondente ao centro de massa do objeto ou sistema.
- Exemplo:
Qual a posição do centro de massa de um sistema de partículas de 1 kg posicionado nos pontos P1 = (0,2); P2 = (1,4); P3 = (5,3)?
Resolução:
Primeiramente, calcularemos o centro de massa no eixo x:
\(x_{CM}=\frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3}{m_1+m_2+m_3}\)
\(x_{CM}=\frac{1\ \cdot\ 0\ +\ 1\ \cdot\ 1\ +\ 1\ \cdot\ 5}{1\ +\ 1\ +\ 1}\)
\(x_{CM}=\frac{0\ +\ 1\ +\ 5}{3}\)
\(x_{CM}=\frac{6}{3}\)
\(x_{CM}=2\)
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y:
\(y_{CM}=\frac{m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3}{m_1+m_2+m_3}\)
\(y_{CM}=\frac{1\ \cdot\ 2\ +\ 1\ \cdot\ 4\ +\ 1\ \cdot\ 3}{1\ +\ 1\ +\ 1}\)
\(y_{CM}=\frac{2\ +\ 4\ +\ 3}{3}\)
\(y_{CM}=\frac{9}{3}\)
\(y_{CM} = 3\)
O centro de massa desse sistema de partículas está na posição (2,3).
Centro de massa x centro de gravidade
É comum confundir os termos centro de massa com centro de gravidade, mas eles não são o mesmo conceito. O centro de gravidade (ou baricentro) é um ponto fixo no corpo ou em um sistema em que temos a ação de toda a força da gravidade. Já o centro de massa é um ponto no corpo ou em um sistema que se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada nele.
Em figuras e corpos geométricos regulares como quadrados, triângulos e círculos, o centro de gravidade coincide com o centro de massa; nos demais geralmente não coincidem. Para saber mais sobre o centro de gravidade, clique aqui.
Velocidade do centro de massa
A velocidade do centro de massa pode ser dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor quantidade de movimento de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:
\(\vec{v}_{CM} = \frac{\sum \vec{p}}{\sum m} = \frac{\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots} \)
- \(\vec{v}_{CM}\) → vetor velocidade do centro de massa do sistema de partícula.
- \(\vec{p}\) → vetor quantidade de movimento.
- m → massa da partícula.
- \(\vec{p}_1, \vec{p}_2 \ e\ \vec{p}_3\) → vetores quantidade de movimento das partículas.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
Ou:
\(\vec{v}_{CM} = \frac{\sum m \cdot \vec{v}}{\sum m} = \frac{m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 + m_3 \cdot \vec{v}_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots}\)
- \(\vec{v}_{CM}\) → vetor velocidade do centro de massa do sistema de partícula.
- m → massa da partícula.
- \(\vec{v}\) → vetor velocidade
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- \(\vec{v}_1,\vec{v}_2 \ e\ \vec{v}_3 \) → vetores velocidade das partículas.
Aceleração do centro de massa
A aceleração do centro de massa é dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor força de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:
\(\vec{a}_{CM} = \frac{\sum \vec{F}}{\sum m} = \frac{\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots}\)
- \(\vec{a}_{CM}\) → vetor aceleração do centro de massa do sistema de partícula.
- \(\vec{F}\) → vetor força da partícula.
- m → massa da partícula.
- \(\vec{F}_1,\vec{F}_2 \ e\ \vec{F}_3 \) → vetores força das partículas.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
Ou
\(\vec{a}_{\text{CM}} = \frac{\sum m \cdot \vec{a}}{\sum m} = \frac{m_1 \cdot \vec{a}_1 + m_2 \cdot \vec{a}_2 + m_3 \cdot \vec{a}_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots}\)
- \(\vec{a}_{CM}\) → vetor aceleração do centro de massa do sistema de partícula.
- m → massa da partícula.
- \(\vec{a}\) → vetor aceleração da partícula.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- \(\vec{a}_1,\vec{a}_2 \ e\ \vec{a}_3 \) → vetores aceleração das partículas.
Centro de massa e estabilidade de tombamento
Através do centro de massa é possível obtermos o ângulo máximo que um corpo consegue se inclinar sem que haja o seu tombamento. Uma das maneiras para descobrirmos isso é calculando as posições do centro de massa nos eixos e depois empregando conhecimentos trigonométricos. Haverá tombamento quando a posição do centro de massa passar a sua projeção na base de apoio.
O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência para análise dos movimentos dos corpos rígidos, corpos em sistemas isolados ou em sistemas de partículas. Ao empregarmos o centro de massa como sistema de referência temos a simplificação dos problemas físicos, já que o centro de massa passa a ser a origem do sistema de coordenadas.
Exercícios resolvidos sobre centro de massa
Questão 1
(Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos indicados (F, G, H, I, J), o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é:
A) F
B) G
C) H
D) I
E) J
Alternativa D.
Primeiramente, delimitaremos um eixo vertical e um horizontal na figura:
Os centros de cada bloco são: bloco 1 = (-2,1), bloco 2 = (0,1), bloco 3 = (2,1), bloco 4 = (0,3), bloco 5 = (0,5), bloco 6 = (0,7). O centro de massa no eixo x será o ponto no meio dos 3 pontos, portanto no ponto zero.
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y através da sua fórmula:
\( y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + m_4 \cdot y_4 + m_5 \cdot y_5 + m_6 \cdot y_6}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{m \cdot 1 + m \cdot 1 + m \cdot 1 + m \cdot 3 + m \cdot 5 + m \cdot 7}{m + m + m + m + m + m} \)
\(y_{CM}=\frac{18m}{6m}\)
\(y_{CM}=3\)
Então, o centro de massa desse sistema fica no ponto (0,3), que corresponde à letra I.
Questão 2
Determine a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas de 2 kg posicionado com vetor velocidade (0,-2) e (1,-4).
A) 4 ;-0,5 m/s
B) 3 ;-0 m/s
C) 2 ;-1 m/s
D) 1 ;-2 m/s
E) 0,5 ;-3 m/s
Alternativa E.
Calcularemos a velocidade do centro de massa através da fórmula:
\( \vec{v}_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 + m_3 \cdot \vec{v}_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots}\)
\(\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{2\ \cdot\ (0, -2) + 2\ \cdot\ (1, -4)}{2 + 2} \)
\(\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{(0, -4) + (2, -8)}{4} \)
\(\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{(0 + 2, -4 - 8)}{4} \)
\(\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{(2, -12)}{4} \)
\(\vec{v}_{\text{CM}} = (0,5\ ; -3) \, \text{m/s} \)
Fontes
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.