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Centro de massa

O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.

Planeta Terra, uma alusão ao centro de massa que fica no seu interior.
O centro de massa da Terra fica no seu interior.
Crédito da Imagem: Shutterstock.com
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Tempo de leitura estimado : 13 minutos

O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem. O centro de massa de um corpo ou de um sistema de partículas é o ponto geométrico de que podemos tratar como se toda a massa do corpo estivesse nele. O seu cálculo depende da massa e da posição das partículas.

Leia também: Afinal, o que é massa?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre o centro de massa

  • O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.
  • O centro de massa é o ponto calculado através da média ponderada da posição das partículas com suas massas.
  • O centro de massa e o centro de gravidade coincidem em figuras e corpos geométricos regulares.
  • O centro de massa, a velocidade do centro de massa e a aceleração do centro de massa são calculados através de uma média ponderada.
  • A análise do centro de massa é importante para a estabilidade de tombamento.
  • O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência.

O que é centro de massa?

O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.

Ele pode ser definido da seguinte forma:

(...) o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

Então, podemos compreender o centro de massa como o local que representa a posição média ponderada de toda a massa do sistema.

Peteca girando em torno do centro de massa.
Peteca girando em torno do centro de massa. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

O centro de massa precisa ser levado em consideração nas construções de pontes, edifícios, casas, móveis, automóveis, portas, janelas; enfim, tudo aquilo que necessita de equilíbrio.

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Fórmula do centro de massa

xCM=m1x1+m2x2+m3x3m1+m2+m3

  • xCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo horizontal.
  • m1, m2  e m3 → massas das partículas.
  • x1, x2  e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
  • y1, y2  e y3 → posições das partículas no eixo vertical.

E

yCM=m1y1+m2y2+m3y3m1+m2+m3

  • yCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo vertical.
  • m1, m2  e m3 → massas das partículas.
  • x1, x2  e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
  • y1, y2  e y3 → posições das partículas no eixo vertical.

Como calcular o centro de massa de um objeto?

Para calcular o centro de massa de um objeto ou sistema de partículas, calculamos a posição do centro de massa no eixo horizontal e depois no eixo vertical, o que nos dará um par de coordenadas correspondente ao centro de massa do objeto ou sistema.

  • Exemplo:

Qual a posição do centro de massa de um sistema de partículas de 1 kg posicionado nos pontos P1 = (0,2); P2 = (1,4); P3 = (5,3)?

Resolução:

Primeiramente, calcularemos o centro de massa no eixo x:

xCM=m1x1+m2x2+m3x3m1+m2+m3

xCM=1  0 + 1  1 + 1  51 + 1 + 1

xCM=0 + 1 + 53

xCM=63

xCM=2

Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y:

yCM=m1y1+m2y2+m3y3m1+m2+m3

yCM=1  2 + 1  4 + 1  31 + 1 + 1

yCM=2 + 4 + 33

yCM=93

yCM=3

O centro de massa desse sistema de partículas está na posição (2,3).

Centro de massa x centro de gravidade

É comum confundir os termos centro de massa com centro de gravidade, mas eles não são o mesmo conceito. O centro de gravidade (ou baricentro) é um ponto fixo no corpo ou em um sistema em que temos a ação de toda a força da gravidade. Já o centro de massa é um ponto no corpo ou em um sistema que se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada nele.

Centro de gravidade e centro de massa em figuras geométricas regulares.
Centro de gravidade e centro de massa em figuras geométricas regulares.

Em figuras e corpos geométricos regulares como quadrados, triângulos e círculos, o centro de gravidade coincide com o centro de massa; nos demais geralmente não coincidem. Para saber mais sobre o centro de gravidade, clique aqui.

Velocidade do centro de massa

A velocidade do centro de massa pode ser dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor quantidade de movimento de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:

vCM=pm=p1+p2+p3+m1+m2+m3+

  • vCM → vetor  velocidade do centro de massa do sistema de partícula.
  • p → vetor quantidade de movimento.
  • m  → massa da partícula.
  • p1,p2 e p3 → vetores quantidade de movimento das partículas.
  • m1, m2 e m3 → massas das partículas.

Ou:

vCM=mvm=m1v1+m2v2+m3v3+m1+m2+m3+

  • vCM → vetor  velocidade do centro de massa do sistema de partícula.
  • m  → massa da partícula.
  • v → vetor velocidade
  • m1, m2 e m3 → massas das partículas.
  • v1,v2 e v3 → vetores velocidade das partículas.

Aceleração do centro de massa

A aceleração do centro de massa é dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor força de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:

aCM=Fm=F1+F2+F3+m1+m2+m3+

  • aCM → vetor aceleração do centro de massa do sistema de partícula.
  • F → vetor força da partícula.
  • m → massa da partícula.
  • F1,F2 e F3 → vetores força das partículas.
  • m1, m2 e m3 → massas das partículas.

Ou

aCM=mam=m1a1+m2a2+m3a3+m1+m2+m3+

  • aCM → vetor  aceleração do centro de massa do sistema de partícula.
  • m  → massa da partícula.
  • a → vetor aceleração da partícula.
  • m1, m2 e m3 → massas das partículas.
  • a1,a2 e a3 → vetores aceleração das partículas.

Centro de massa e estabilidade de tombamento

Através do centro de massa é possível obtermos o ângulo máximo que um corpo consegue se inclinar sem que haja o seu tombamento. Uma das maneiras para descobrirmos isso é calculando as posições do centro de massa nos eixos e depois empregando conhecimentos trigonométricos. Haverá tombamento quando a posição do centro de massa passar a sua projeção na base de apoio.

O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência para análise dos movimentos dos corpos rígidos, corpos em sistemas isolados ou em sistemas de partículas. Ao empregarmos o centro de massa como sistema de referência temos a simplificação dos problemas físicos, já que o centro de massa passa a ser a origem do sistema de coordenadas.

Exercícios resolvidos sobre centro de massa

Questão 1

(Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos indicados (F, G, H, I, J), o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é:

Ilustração de peças de um jogo de dominó em uma questão da Cesgranrio sobre centro de massa.

A) F

B) G

C) H

D) I

E) J

Alternativa D.

Primeiramente, delimitaremos um eixo vertical e um horizontal na figura:

Resolução da questão da Cesgranrio sobre centro de massa que contém peças de um jogo de dominó.

Os centros de cada bloco são: bloco 1 = (-2,1), bloco 2 = (0,1), bloco 3 = (2,1), bloco 4 = (0,3), bloco 5 = (0,5), bloco 6 = (0,7). O centro de massa no eixo x será o ponto no meio dos 3 pontos, portanto no ponto zero.

Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y através da sua fórmula:

yCM=m1y1+m2y2+m3y3+m4y4+m5y5+m6y6m1+m2+m3+m4+m5+m6

yCM=m1+m1+m1+m3+m5+m7m+m+m+m+m+m

yCM=18m6m

yCM=3

Então, o centro de massa desse sistema fica no ponto (0,3), que corresponde à letra I.

Questão 2

Determine a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas de 2 kg posicionado com vetor velocidade (0,-2) e (1,-4).

A) 4 ;-0,5 m/s

B) 3 ;-0 m/s

C) 2 ;-1 m/s

D) 1 ;-2 m/s

E) 0,5 ;-3 m/s

Alternativa E.

Calcularemos a velocidade do centro de massa através da fórmula:

vCM=m1v1+m2v2+m3v3+m1+m2+m3+

vCM=2  (0,2)+2  (1,4)2+2

vCM=(0,4)+(2,8)4

vCM=(0+2,48)4

vCM=(2,12)4

vCM=(0,5 ;3)m/s

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.

Escritor do artigo
Escrito por: Pâmella Raphaella Melo Sou uma autora e professora que preza pela simplificação de conceitos físicos, transportando-os para o cotidiano dos estudantes e entusiastas. Sou formada em Licenciatura Plena em Física pela PUC- GO e atualmente curso Engenharia Ambiental e Sanitária pela UFG.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

MELO, Pâmella Raphaella. "Centro de massa"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/centro-massa.htm. Acesso em 17 de fevereiro de 2025.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

(Cesgranrio) O centro de massa de um corpo é o ponto no qual se considera que toda a massa do corpo esteja concentrada. Essa é uma consideração útil para o cálculo de diversos efeitos.
O centro de massa de um corpo

a) está sempre dentro do corpo.

b) coincide com o centroide sempre que o corpo for simétrico.

c) coincide com o centro de gravidade, bastando, para isso, que o corpo seja simétrico.

d) coincide sempre com o centro de gravidade e com o centroide, independentemente da simetria.

e) coincide com o centro de gravidade se o corpo estiver sob o efeito de um campo gravitacional uniforme.

Exercício 2

Dentre as alternativas abaixo, qual delas não é uma situação em que precisamos aplicar o centro de massa?

a) fabricação de condutores elétricos.

b) construção de pontes.

c) fabricação de automóveis.

d) criação de móveis.

e) construção de edifícios.