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Números Triangulares

Matemática

Os números triangulares caracterizam uma progressão aritmética de razão igual a um. Seu nome originalmente sugere a construção de triângulos.
Essas quinze bolinhas caracterizam um número triangular
Essas quinze bolinhas caracterizam um número triangular
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Imagine-se em uma brincadeira com bolinhas de gude para a formação de triângulos. Você pode considerar primeiramente que uma bolinha é como um pequeno triângulo:

Em seguida, você coloca duas bolinhas abaixo e forma os três vértices de um triângulo:


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Se você colocar outras três bolinhas abaixo dessas, formará outro triângulo:


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A cada etapa de acréscimo de bolinhas em relação à quantidade colocada anteriormente, haverá sempre a formação de triângulos. Veja o triângulo formado com a adição de mais quatro bolinhas:


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A quantidade total de bolinhas em cada etapa caracteriza uma classe de números chamada de números triangulares. O matemático Karl Friedrich Gauss descobriu uma fórmula para indicar a quantidade total em cada triângulo, em que S1 correspondia ao primeiro triângulo, S2, ao segundo triângulo, e assim sucessivamente. As somas descritas por Gauss iniciavam com um e, a cada etapa, era adicionado um número que correspondia a uma unidade acima do último número adicionado:

S1 = 1
S2 = 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Os resultados dessas somas foram os números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15... Observe que existe um padrão estabelecido em cada uma dessas somas. Analisando cuidadosamente, podemos observar que cada uma delas é uma progressão aritmética de razão 1. Então vale aqui a soma de Gauss, que estabelece que, em uma soma de razão constante, se adicionarmos o primeiro elemento ao último, obteremos o mesmo resultado de somarmos o segundo elemento ao penúltimo. Vejamos como ocorre o processo da soma de Gauss para as somas S6 e S7:

Processo da soma de Gauss aplicado à soma dos números triangulares
Processo da soma de Gauss aplicado à soma dos números triangulares

Se para S6 e S7 temos as somas da imagem acima, vamos reproduzir essa soma para S8, S9, S10 e S11:

S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
S9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
S10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
S11 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66

Podemos generalizar para obter uma soma para Sn:

Sn = n. (n + 1), se n é par
2         

S= (n - 1).(n + 1) + (n - 1) + 1, se n é ímpar
​2                      2                    

Assim como na magia dos números, podemos mostrar outro fato interessante acerca dos números triangulares: a soma de números triangulares subsequentes resulta sempre em números que podem ser classificados como quadrados perfeitos, isto é, números que possuem raiz quadrada. Vejamos:

S1 + S2 = 1 + 3 = 4
S2 + S3 = 3 + 6 = 9
S3 + S4 = 6 + 10 = 16
S4 + S5 = 10 + 15 = 25
S5 + S6 = 15 + 21 = 36
S6 + S7 = 21 + 28 = 49
S7 + S8 = 28 + 36 = 64
S8 + S9 = 36 + 45 = 81
S9 + S10 = 45 + 55 = 100
S10 + S11 = 55 + 66 = 121

Os resultados obtidos, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121, são todos quadrados perfeitos.


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Números Triangulares"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm>. Acesso em 26 de maio de 2018.

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