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A lei de Biot-Savart é uma lei do Eletromagnetismo capaz de prever a intensidade e orientação (direção e sentido) de um campo magnético produzido por uma corrente elétrica. Ela foi formulada pelo físico, matemático e astrônomo Jean-Baptiste Biot e o físico e matemático Félix Savart.
Leia também: Lei de Lenz — descreve o fenômeno da indução eletromagnética
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre a lei de Biot-Savart
- 2 - O que diz a lei de Biot-Savart?
- 3 - Fórmulas da lei de Biot-Savart
- → Lei de Biot-Savart para uma partícula
- → Lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica
- → Forma escalar da lei de Biot-Savart
- → Forma vetorial da lei de Biot-Savart
- → Forma integral da lei de Biot-Savart, válida para qualquer formato de fio
- → Exemplos de cálculos com fórmulas da lei de Biot-Savart
- 4 - Aplicações da lei de Biot-Savart
- 5 - História da lei de Biot-Savart
- 6 - Exercícios sobre a lei de Biot-Savart
Resumo sobre a lei de Biot-Savart
- Através da lei de Biot-Savart, temos que o campo magnético é proporcional à corrente elétrica e ao comprimento do fio, mas inversamente proporcional ao quadrado da distância até o fio.
- A lei de Biot-Savart é empregada na determinação do campo magnético em algumas situações, como um fio condutor que é atravessado por uma corrente retilínea, no centro de um polígono ou em uma espira circular no eixo.
- A lei de Biot-Savart é empregada na determinação da direção das linhas de campo magnético.
- Através da lei de Biot- Savart é possível encontrarmos a lei de Ampére do Magnetismo.
O que diz a lei de Biot-Savart?
A lei de Biot-Savart nos dá uma expressão matemática para o cálculo do campo magnético em um ponto do espaço em relação à corrente elétrica que o produz. De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo magnético apresenta as seguintes propriedades:
- O campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância até o fio.
- O campo magnético é diretamente proporcional à corrente elétrica e ao comprimento do fio.
- O vetor campo magnético é perpendicular ao vetor comprimento (local por onde a corrente elétrica atravessa) e ao vetor posição (local onde o campo magnético pode ser determinado).
- O campo magnético produzido por uma corrente elétrica estacionária, aquela que não varia com o tempo, é estático.
Fórmulas da lei de Biot-Savart
→ Lei de Biot-Savart para uma partícula
\(B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}\)
B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla [T].
μo é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é \(4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot{m}/{A}\).
q é a carga elétrica, medida em Coulomb [C].
v é a velocidade da partícula, medida em metros por segundo [m/s].
r é a distância da partícula até o ponto em que se deseja medir o campo magnético, medida em metros [m].
θ é o ângulo ente r e v, medido em graus [°].
→ Lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica
\(∆B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{i\cdot ∆L\cdot s i n\theta}{r^2}\)
B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla [T].
μo é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é \(4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot{m}/{A}\).
i é a corrente elétrica, medida em Ampére [A].
∆L é o comprimento dos fragmentos do fio, medido em metros [m].
r é a distância da partícula até o ponto em que se deseja medir o campo magnético, medida em metros [m].
θ é o ângulo ente r e i, medido em graus [°].
→ Forma escalar da lei de Biot-Savart
\(dB=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{i\cdot d s\cdot s i n\theta}{r^2}\)
→ Forma vetorial da lei de Biot-Savart
\(d\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{id\vec{s}\times^{r}}{r^2}\)
→ Forma integral da lei de Biot-Savart, válida para qualquer formato de fio
\(\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\oint_{C}\cdot\frac{idl\times^{r}}{r^2}\)
→ Exemplos de cálculos com fórmulas da lei de Biot-Savart
Exemplo 1:
Uma carga elétrica de 2 μC se move com velocidade de 50 milhões m/s. Sabendo que o ângulo entre a velocidade e a distância do ponto A é 90º, calcule o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica nesse ponto A, que está a 40 mil metros de distância da carga elétrica.
Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para uma partícula:
\(\left|B\right|=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}\)
\(\left|B\right|=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{4\cdot\pi}\cdot \frac{\left|2\mu\right|\cdot50000000\cdot sin90°2}{40000^2}\)
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\mu\right|\cdot5\cdot{10}^7\cdot1}{1,6\cdot{10}^9}\)
Como μ significa micro, cujo valor é de 10-6, temos:
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\cdot{10}^{-6}\right|\cdot5\cdot{10}^7\cdot1}{1,6\cdot{10}^9}\)
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{2\cdot{10}^{-6}\cdot5\cdot{10}^7}{1,6\cdot{10}^9}\)
\(\left|B\right|=6,25\cdot{10}^{-15}T\)
\(\left|B\right|=6,25\cdot fT\)
Exemplo 2:
Um fio é percorrido por uma corrente elétrica de 50 A e é dividido em fragmentos de 0,02 metro. Sabendo que o ângulo entre a distância e a corrente elétrica é de 30°, calcule o campo magnético produzido pela corrente em um ponto que está a 2 metros de distância do fio.
Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela corrente elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica:
\(∆B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi} \frac{i\cdot∆L\cdot sin\theta}{r^2}\)
\(∆B=\frac{4\cdot \pi\cdot10^{-7}}{4\cdot\pi} \frac{50\cdot0,02\cdot sin 30°}{2^2}\)
\(∆B=10^{-7}\cdot \frac{50\cdot0,02\cdot0,5}{4}\)
\(∆B=10^{-7}\cdot0,125\)
\(∆B=0,125\cdot10^{-7}\)
\(∆B=1,25\cdot10^{-1}\cdot10^{-7}\)
\(∆B=1,25\cdot10^{-1-7}\)
\(∆B=1,25\cdot10^{-8}T\)
Veja também: Como ocorre a produção do campo magnético em solenoides
Aplicações da lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart é aplicada quando se deseja determinar:
- campo magnético em um fio condutor percorrido por uma corrente retilínea;
- campo magnético no centro de um polígono (figura geométrica fechada) de n lados;
- campo magnético de uma espira circular no eixo;
- direção das linhas de campo magnético através da regra da mão direita.
Além disso, a lei de Biot-Savart permite obtermos a lei de Ampére, que calcula o campo magnético produzido em um condutor retilíneo que é atravessado por uma corrente elétrica a certa distância do condutor. A lei de Ampére pode ser dada pela fórmula:
\(B=\frac{\mu_o\cdot i}{2\cdot\pi\cdot r}\)
B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla \(\left[T\right]\).
μo é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é \(4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot {m}/{A}\).
i é a corrente elétrica, medida em Ampère \(\left[A\right]\).
r é distância do campo magnético ao fio, medida em metros \(\left[m\right]\).
História da lei de Biot-Savart
Em 1820, o físico e químico Hans Christian Oersted (1777-1851) provou a relação entre os fenômenos elétricos e magnéticos acidentalmente, enquanto estudava as cargas elétricas em movimento, contudo ele não foi capaz de produzir os cálculos do campo.
Após a publicação do experimento de Oersted, o físico, matemático e astrônomo Jean-Baptiste Biot (1774-1862) e o físico e matemático Félix Savart (1791-1841) executaram as primeiras análises minuciosas sobre a força gerada por uma corrente elétrica em um imã próximo e constataram que surgiam campos magnéticos próximo dos fios que estavam conduzindo corrente elétricas, desenvolvendo, assim, a lei de Biot-Savart.
Saiba mais: Diferenças entre condutores e isolantes elétricos
Exercícios sobre a lei de Biot-Savart
01) Uma carga elétrica de 2 mC se locomove a 100.000 m/s. Considerando que o ângulo entre a velocidade e a distância do ponto C é 90º, calcule o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica nesse ponto C, que dista 2 metros.
a) 5 T
b) 5 mT
c) 5 μT
d) 5 nT
e) 5 pT
Resolução:
Alternativa C.
Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para uma partícula:
\(\left|B\right|=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}\)
\(\left|B\right|=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{4\cdot\pi}\cdot \frac{\left|2m\right|\cdot100000\cdot sin90°2}{2}\)
Como m significa mili, cujo valor é de \({10}^{-3}\), temos:
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\cdot{10}^{-3}\right|\cdot100000\cdot1}{4}\)
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{2\cdot{10}^{-3}\cdot100000}{4}\)
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot50000\cdot{10}^{-3}\)
\(\left|B\right|={10}^{-7}\cdot5\cdot{10}^4\cdot{10}^{-3}\)
\(\left|B\right|=5\cdot{10}^{4-7-3}\)
\(\left|B\right|=5\cdot{10}^{-6}T\)
\(\left|B\right|=5\ \mu T\)
02) Um fio é atravessado por uma corrente elétrica de 20 A, então determine o campo magnético produzido pela corrente elétrica em um ponto que dista 40 metros.
a) 6,25 T
b) 6,25 mT
c) 6,25 μT
d) 6,25 nT
e) 6,25 pT
Resolução:
Alternativa E.
Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela corrente elétrica através da fórmula da lei de Ampére, que é a redução da lei de Biot-Savart para um fio reto e longo:
\(B=\frac{\mu_o}{2\cdot\pi}\cdot\frac{i}{r}\)
\(B=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{2\cdot\pi}\cdot\frac{20}{40}\)
\(B=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{2\cdot\pi}\cdot\frac{1}{2}\)
\(B={10}^{-7}\cdot1\)
\(B=1\cdot{10}^{-7}T\)
Fontes
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Eletromagnetismo (vol. 3). 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). Editora Blucher, 2015.
SAMPAIO, José Luiz; CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física: Ondulatória. Eletromagnetismo, Física Moderna. São Paulo: Atual, 2005.
