Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart é uma lei do Eletromagnetismo capaz de prever a intensidade e orientação (direção e sentido) de um campo magnético produzido por uma corrente elétrica. Ela foi formulada pelo físico, matemático e astrônomo Jean-Baptiste Biot e o físico e matemático Félix Savart.

Leia também: Lei de Lenz — descreve o fenômeno da indução eletromagnética

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre a lei de Biot-Savart
• 2 - O que diz a lei de Biot-Savart?
• 3 - Fórmulas da lei de Biot-Savart
  • → Lei de Biot-Savart para uma partícula
  • → Lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica
  • → Forma escalar da lei de Biot-Savart
  • → Forma vetorial da lei de Biot-Savart
  • → Forma integral da lei de Biot-Savart, válida para qualquer formato de fio
  • → Exemplos de cálculos com fórmulas da lei de Biot-Savart
• 4 - Aplicações da lei de Biot-Savart
• 5 - História da lei de Biot-Savart
• 6 - Exercícios sobre a lei de Biot-Savart

Resumo sobre a lei de Biot-Savart

• Através da lei de Biot-Savart, temos que o campo magnético é proporcional à corrente elétrica e ao comprimento do fio, mas inversamente proporcional ao quadrado da distância até o fio.
• A lei de Biot-Savart é empregada na determinação do campo magnético em algumas situações, como um fio condutor que é atravessado por uma corrente retilínea, no centro de um polígono ou em uma espira circular no eixo.
• A lei de Biot-Savart é empregada na determinação da direção das linhas de campo magnético.
• Através da lei de Biot- Savart é possível encontrarmos a lei de Ampére do Magnetismo.

O que diz a lei de Biot-Savart?

A lei de Biot-Savart nos dá uma expressão matemática para o cálculo do campo magnético em um ponto do espaço em relação à corrente elétrica que o produz. De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo magnético apresenta as seguintes propriedades:

• O campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância até o fio.
• O campo magnético é diretamente proporcional à corrente elétrica e ao comprimento do fio.
• O vetor campo magnético é perpendicular ao vetor comprimento (local por onde a corrente elétrica atravessa) e ao vetor posição (local onde o campo magnético pode ser determinado).
• O campo magnético produzido por uma corrente elétrica estacionária, aquela que não varia com o tempo, é estático.

Fórmulas da lei de Biot-Savart

→ Lei de Biot-Savart para uma partícula

$B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}$

B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla [T].

μ_o é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é $4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot{m}/{A}$.

q é a carga elétrica, medida em Coulomb [C].

v é a velocidade da partícula, medida em metros por segundo [m/s].

r é a distância da partícula até o ponto em que se deseja medir o campo magnético, medida em metros [m].

θ é o ângulo ente r e v, medido em graus [°].

→ Lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica

$∆B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{i\cdot ∆L\cdot s i n\theta}{r^2}$

B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla [T].

μ_o é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é $4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot{m}/{A}$.

i é a corrente elétrica, medida em Ampére [A].

∆L é o comprimento dos fragmentos do fio, medido em metros [m].

r é a distância da partícula até o ponto em que se deseja medir o campo magnético, medida em metros [m].

θ é o ângulo ente r e i, medido em graus [°].

→ Forma escalar da lei de Biot-Savart

$dB=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{i\cdot d s\cdot s i n\theta}{r^2}$

→ Forma vetorial da lei de Biot-Savart

$d\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{id\vec{s}\times^{r}}{r^2}$

→ Forma integral da lei de Biot-Savart, válida para qualquer formato de fio

$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\oint_{C}\cdot\frac{idl\times^{r}}{r^2}$

→ Exemplos de cálculos com fórmulas da lei de Biot-Savart

Exemplo 1:

Uma carga elétrica de 2 μC se move com velocidade de 50 milhões m/s. Sabendo que o ângulo entre a velocidade e a distância do ponto A é 90º, calcule o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica nesse ponto A, que está a 40 mil metros de distância da carga elétrica.

Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para uma partícula:

$\left|B\right|=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}$

$\left|B\right|=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{4\cdot\pi}\cdot \frac{\left|2\mu\right|\cdot50000000\cdot sin90°2}{40000^2}$

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\mu\right|\cdot5\cdot{10}^7\cdot1}{1,6\cdot{10}^9}$

Como μ significa micro, cujo valor é de 10^-6, temos:

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\cdot{10}^{-6}\right|\cdot5\cdot{10}^7\cdot1}{1,6\cdot{10}^9}$

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{2\cdot{10}^{-6}\cdot5\cdot{10}^7}{1,6\cdot{10}^9}$

$\left|B\right|=6,25\cdot{10}^{-15}T$

$\left|B\right|=6,25\cdot fT$

Exemplo 2:

Um fio é percorrido por uma corrente elétrica de 50 A e é dividido em fragmentos de 0,02 metro. Sabendo que o ângulo entre a distância e a corrente elétrica é de 30°, calcule o campo magnético produzido pela corrente em um ponto que está a 2 metros de distância do fio.

Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela corrente elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para um fio percorrido por uma corrente elétrica:

$∆B=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi} \frac{i\cdot∆L\cdot sin\theta}{r^2}$

$∆B=\frac{4\cdot \pi\cdot10^{-7}}{4\cdot\pi} \frac{50\cdot0,02\cdot sin 30°}{2^2}$

$∆B=10^{-7}\cdot \frac{50\cdot0,02\cdot0,5}{4}$

$∆B=10^{-7}\cdot0,125$

$∆B=0,125\cdot10^{-7}$

$∆B=1,25\cdot10^{-1}\cdot10^{-7}$

$∆B=1,25\cdot10^{-1-7}$

$∆B=1,25\cdot10^{-8}T$

Veja também: Como ocorre a produção do campo magnético em solenoides

Aplicações da lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart é aplicada quando se deseja determinar:

• campo magnético em um fio condutor percorrido por uma corrente retilínea;
• campo magnético no centro de um polígono (figura geométrica fechada) de n lados;
• campo magnético de uma espira circular no eixo;
• direção das linhas de campo magnético através da regra da mão direita.

Além disso, a lei de Biot-Savart permite obtermos a lei de Ampére, que calcula o campo magnético produzido em um condutor retilíneo que é atravessado por uma corrente elétrica a certa distância do condutor. A lei de Ampére pode ser dada pela fórmula:

$B=\frac{\mu_o\cdot i}{2\cdot\pi\cdot r}$

B é o módulo do campo magnético, medido em Tesla $\left[T\right]$.

μ_o é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, seu valor é $4\pi\cdot{10}^{-7}T\cdot {m}/{A}$.

i é a corrente elétrica, medida em Ampère $\left[A\right]$.

r é distância do campo magnético ao fio, medida em metros $\left[m\right]$.

História da lei de Biot-Savart

Em 1820, o físico e químico Hans Christian Oersted (1777-1851) provou a relação entre os fenômenos elétricos e magnéticos acidentalmente, enquanto estudava as cargas elétricas em movimento, contudo ele não foi capaz de produzir os cálculos do campo.

Após a publicação do experimento de Oersted, o físico, matemático e astrônomo Jean-Baptiste Biot (1774-1862) e o físico e matemático Félix Savart (1791-1841) executaram as primeiras análises minuciosas sobre a força gerada por uma corrente elétrica em um imã próximo e constataram que surgiam campos magnéticos próximo dos fios que estavam conduzindo corrente elétricas, desenvolvendo, assim, a lei de Biot-Savart.

Saiba mais:  Diferenças entre condutores e isolantes elétricos

Exercícios sobre a lei de Biot-Savart

01) Uma carga elétrica de 2 mC se locomove a 100.000 m/s. Considerando que o ângulo entre a velocidade e a distância do ponto C é 90º, calcule o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica nesse ponto C, que dista 2 metros.

a) 5 T

b) 5 mT

c) 5 μT

d) 5 nT

e) 5 pT

Resolução:

Alternativa C.

Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela carga elétrica através da fórmula da lei de Biot-Savart para uma partícula:

$\left|B\right|=\frac{\mu_o}{4\cdot\pi}\cdot\frac{\left|q\right|\cdot v\cdot s i n\theta}{r^2}$

$\left|B\right|=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{4\cdot\pi}\cdot \frac{\left|2m\right|\cdot100000\cdot sin90°2}{2}$

Como m significa mili, cujo valor é de ${10}^{-3}$, temos:

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{\left|2\cdot{10}^{-3}\right|\cdot100000\cdot1}{4}$

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot\frac{2\cdot{10}^{-3}\cdot100000}{4}$

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot50000\cdot{10}^{-3}$

$\left|B\right|={10}^{-7}\cdot5\cdot{10}^4\cdot{10}^{-3}$

$\left|B\right|=5\cdot{10}^{4-7-3}$

$\left|B\right|=5\cdot{10}^{-6}T$

$\left|B\right|=5\ \mu T$

02) Um fio é atravessado por uma corrente elétrica de 20 A, então determine o campo magnético produzido pela corrente elétrica em um ponto que dista 40 metros.

a) 6,25 T

b) 6,25 mT

c) 6,25 μT

d) 6,25 nT

e) 6,25 pT

Resolução:

Alternativa E.

Calcularemos o módulo do campo magnético produzido pela corrente elétrica através da fórmula da lei de Ampére, que é a redução da lei de Biot-Savart para um fio reto e longo:

$B=\frac{\mu_o}{2\cdot\pi}\cdot\frac{i}{r}$

$B=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{2\cdot\pi}\cdot\frac{20}{40}$

$B=\frac{4\cdot\pi\cdot{10}^{-7}}{2\cdot\pi}\cdot\frac{1}{2}$

$B={10}^{-7}\cdot1$

$B=1\cdot{10}^{-7}T$

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Eletromagnetismo (vol. 3). 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). Editora Blucher, 2015.

SAMPAIO, José Luiz; CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física: Ondulatória. Eletromagnetismo, Física Moderna. São Paulo: Atual, 2005.