Notificações
Você não tem notificações no momento.
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Números Binomiais

Imprimir
Texto:
A+
A-
Ouça o texto abaixo!

PUBLICIDADE

Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.

(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 =  x3 +3x2y + 3xy2 + y3

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)4 = (x + y)(x + y)3 = (x + y)*( x3 +3x2y + 3xy2 + y3)
x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 + x3y + 3x2y2 + 3xy3 + y4
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:


com n Є N, m Є n e m ≤ n.

Situações particulares


Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)n

Triângulo de Pascal

Os coeficientes binomiais podem ser organizados num triângulo denominado triângulo de Pascal ou de Tartaglia.

Note na organização do triângulo, pois os numeradores iguais se encontram numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)


Soma dos elementos por linha no triângulo de Pascal:

Linha 1 = 1 = 20
Linha 2 = 1 + 1 = 2¹
Linha 3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2²
Linha 4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
Linha 5 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Linha 6 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

e assim sucessivamente.

Binômio de Newton

Vamos substituir os termos x por a e y por b na expressão (x + y)n no intuito de diferenciar os elementos da expressão da parte literal dos polinômios que serão apresentados e trabalhados, passando a ter a expressão
(a + b)n .
De acordo com o binômio de Newton, temos a seguinte forma geral para o desenvolvimento das expressões na forma (a + b)n, com n > 3:

Desenvolva (4x + 2)5 utilizando o binômio de Newton.

1*1024x5 * 1 + 5*256x4 * 2 + 10*64x3 * 4 + 10*16x2 * 8 + 5*4x * 16 + 1*1 * 32

1024x5 + 2560x4 + 2560x3 + 1280x2 + 320x + 32

(4x + 2)5 = 1024x5 + 2560x4 + 2560x3 + 1280x2 + 320x + 32
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Marcos Noé Pedro da Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Números Binomiais"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-binomiais.htm. Acesso em 16 de julho de 2024.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

Qual é o 6° termo do desenvolvimento do binômio de Newton (a – 1)6?

Exercício 2

Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento do número binomial (a – 2)9.