Mersenne, Números Primos e Números Perfeitos

Dizemos que um número natural é perfeito se é igual à soma de todos os seus fatores (divisores), excluindo ele próprio. Por exemplo, 6 e 28 são números perfeitos, veja:

6 = 1 + 2 + 3 (fatores de 6: 1, 2, 3 e 6), excluímos o número 6.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (fatores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), excluímos o 28.


Os números de Mersenne são aqueles na forma Mn = 2n – 1. Ele chegou a cogitar que essa expressão seria capaz de calcular possíveis números primos considerando n = primos, mas posteriormente ficou comprovado que ele estava quase certo. Por exemplo:

M₁ = 2¹ – 1 = 1
M₂ = 2² – 1 = 3 → n = 2 (primo), M₂ = 3 (primo)
M₃ = 2³ – 1 = 7 → n = 3 (primo), M₃ = 7 (primo)
M₄ = 2⁴ – 1 = 15
M₅ = 2⁵ – 1 = 31→ n = 5 (primo), M₅ = 31 (primo)
M₆ = 2⁶ – 1 = 63
M₇ = 2⁷ – 1 = 127 → n = 7 (primo), M₇ = 127 (primo)
M₈ = 2⁸ – 1 = 255
M₉ = 2⁹ – 1 = 511
M₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
M₁₁ = 2¹¹ – 1 = 2047 → n = 11 (primo), M₁₁ = 2047 (não é primo)
M₁₃ = 2¹³ – 1 = 8191 → n = 13 (primo), M₁₃ = 8191 (primo)

Dentro da sequência dos números primos existem elementos que aplicados na fórmula de Mersenne não geram elementos primos, por exemplo, o número 11, quando aplicado à fórmula resultou em 2047, um número não primo.


O conhecimento dos números perfeitos é atribuído a Euclides, famoso matemático grego que fundamentou a Geometria. O método utilizado por ele começa com o 1 adicionando potências de 2 até chegar a um primo. Um número perfeito é então obtido multiplicando a soma pela última potência de 2.




Observe a relação existente entre o número perfeito e os números primos de Mersenne.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Conjuntos Numéricos - Matemática - Brasil Escola