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Fórmulas de adição de arcos

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Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte propriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

cos (π + π) = cos (2π + π) = cos () = cos 270º = 0
               2                 2                    2
 

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0
               2                         2

Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:

Exemplo 2:

cos (π + π) = cos () = cos 120º = 0 
        3     3               3

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1 
       3     3            3           3                                     2    2

Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valor que x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:

sen(x + y) = sen x + sen y
sen (x – y) = sen x -sen y
cos (x + y) = cos x + cos y
cos(x - y) = cos x + cos y
tg(x + y) = tg x + tg y
tg(x - y) = tg x + tg y


São igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim veja as verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno e tangente.

• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x

• sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x

• cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y

• cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y

• tg (x + y) = tg x + tg y
                  1 – tg x . tg y

• tg (x - y) = tg x - tg y 
                  1 + tg x . tg y

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Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RAMOS, Danielle de Miranda. "Fórmulas de adição de arcos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-adicao-arcos.htm. Acesso em 21 de maio de 2022.

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