Espelhos esféricos

Espelhos esféricos são sistemas ópticos formados com base em calotas polidas e refletoras, capazes de refletir a luz em diferentes ângulos, produzindo, dessa forma, imagens que podem tanto ser reais como virtuais. Existem dois tipos de espelhos esféricos: os espelhos côncavos e os espelhos convexos. Antes de aprofundarmo-nos nos detalhes de cada um desses espelhos, vamos identificar e definir quais são os elementos geométricos dos espelhos esféricos.

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Tópicos deste artigo

• 1 - Elementos geométricos dos espelhos esféricos
• 2 - Espelhos côncavos
  • Caso 1 - Objeto posicionado entre o vértice e o foco do espelho côncavo
  • Caso 2 - Objeto posicionado sobre o foco do espelho côncavo
  • Caso 3 - Objeto posicionado entre o foco e o centro de curvatura
  • Caso 4 - Objeto posicionado sobre o centro de curvatura
  • Caso 5 - Objeto posicionado além do centro de curvatura
  • Resumindo
• 3 - Espelhos convexos
  • Resumindo
• 4 - Fórmulas sobre espelhos esféricos
  • Distância focal e raio de curvatura
  • Equação dos pontos conjugados ou Equação de Gauss
  • Equação do aumento linear transversal
• 5 - Exercícios resolvidos sobre espelhos esféricos

Elementos geométricos dos espelhos esféricos

Os elementos geométricos dos espelhos esféricos são bastante úteis para o seu estudo analítico, por meio da óptica geométrica. Independente dos formatos do espelho esférico (côncavo ou convexo), esses elementos são iguais para ambos.

• Vértice (V)

O vértice marca a região central dos espelhos esféricos. É sobre esse ponto que traçamos o eixo principal (ou eixo de simetria) do espelho. Qualquer raio de luz que incida sobre o vértice de um espelho esférico é refletido com o mesmo ângulo de incidência, do mesmo modo que um espelho plano o faria.

• Centro de curvatura (C)

O centro de curvatura dos espelhos esféricos é o ponto médio da calota esférica que dá origem ao espelho, portanto, é igual ao raio dessa esfera. Qualquer raio de luz que incida sobre o centro de curvatura de um espelho esférico deve ser refletido sobre si mesmo, de modo que os raios de luz incidente e refletido percorram o mesmo caminho.

• Raio de curvatura (R)

O raio de curvatura mede a distância entre o vértice do espelho e o seu centro de curvatura, é denotado pela letra R e é comumente medido em metros.

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• Foco (F)

O foco é o ponto em que raios de luz paralelos convergem após serem refletidos por um espelho côncavo. No caso dos espelhos convexos, os raios de luz refletidos divergem de sua superfície e, por isso, são os prolongamentos dos raios de luz que se cruzam, em um ponto localizado “atrás” da superfície desses espelhos. Por esse motivo, dizemos que o foco dos espelhos convexos é virtual, enquanto o foco dos espelhos côncavos é real.

O tipo de foco do espelho influencia diretamente a realização dos cálculos. Espelhos com foco real (côncavos) têm seu ponto focal escrito com o sinal positivo, já os espelhos convexos recebem o sinal negativo para o seu foco:

A figura mostrada a seguir representa a reflexão de luz por um espelho convexo. Perceba que os raios de luz refletidos são divergentes, nesse caso, o que ocorre é o cruzamento dos prolongamentos dos raios de luz, por isso a imagem conjugada por esses espelhos surge atrás da superfície refletora:

• Distância focal (f)

A distância focal mede a posição do foco em relação ao vértice dos espelhos esféricos, além disso, raios de luz paralelos que incidem sobre espelhos côncavos são refletidos sobre o ponto focal. No caso dos espelhos convexos, são os prolongamentos dos raios de luz que se cruzam em seu foco, localizado atrás do espelho, chamado de foco virtual.

• Ângulo de abertura

O ângulo de abertura mede o grau de curvatura do espelho. Esse ângulo é medido a partir do eixo de simetria dos espelhos esféricos. Quanto maior for o ângulo de abertura, mais o espelho assemelha-se a um espelho plano.

Espelhos côncavos

Os espelhos côncavos são cavidades refletoras de raio constante. São usados para produzir imagens virtuais e ampliadas dos objetos posicionados em regiões próximas à sua superfície, como no caso dos espelhos utilizados em óticas ou para a aplicação de maquiagens etc. Esse tipo de espelho também é capaz de conjugar imagens reais e, portanto, invertidas, quando posiciona-se algum objeto além de sua distância focal.

Para podermos entender melhor como os espelhos côncavos conjugam imagens, precisaremos descrever cada um dos possíveis casos. Perceba que as situações descritas a seguir o são em ordem de distância em relação ao vértice do espelho, confira:

Caso 1 - Objeto posicionado entre o vértice e o foco do espelho côncavo

Quando se posiciona um objeto entre o vértice e o foco de um espelho côncavo, esse último produzirá uma imagem virtual do objeto, “atrás” da superfície do espelho. Os raios de luz refletidos são divergentes, portanto, seus prolongamentos cruzam-se, formando uma imagem ampliada do objeto.

Caso 2 - Objeto posicionado sobre o foco do espelho côncavo

Quando algum objeto é posicionado exatamente sobre o ponto focal do espelho côncavo, este não conjuga imagem nenhuma, uma vez que nem os raios refletidos, nem os seus prolongamentos cruzam-se. Nesse caso, dizemos que a imagem é imprópria ou que é formada no infinito.

Caso 3 - Objeto posicionado entre o foco e o centro de curvatura

Quando posiciona-se algum objeto entre o foco e o centro de curvatura de um espelho convexo, a imagem produzida será sempre real (portanto invertida) e maior que o objeto.

Caso 4 - Objeto posicionado sobre o centro de curvatura

Quando algum objeto é colocado à distância do centro de curvatura em relação ao vértice do espelho côncavo, este conjuga uma imagem real e do mesmo tamanho do seu objeto.

Caso 5 - Objeto posicionado além do centro de curvatura

Objetos que são posicionados para além do centro de curvatura produzem imagens reais e menores que os seus objetos.

• Resumindo

Espelhos côncavos produzem imagens reais quando posicionamos objetos próximos à sua superfície, à distância focal não ocorre formação de imagem, para além do foco, as imagens são reais e seu tamanho diminui de acordo com a distância entre o objeto e o vértice do espelho.

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Espelhos convexos

Os espelhos convexos são como a superfície externa de uma calota refletora. Esses espelhos só conjugam imagens virtuais, que são aquelas que são formadas atrás dos espelhos e podem ser vistas graças a uma ilusão de óptica. Esse tipo de imagem será sempre conjugado na mesma orientação (virado para cima ou para baixo) que os seus objetos.

Além dessas características, independentemente da posição em que se encontra o objeto da imagem, as imagens conjugadas pelos espelhos convexos serão sempre menores que seus objetos. Os espelhos convexos são bastante utilizados em estabelecimentos comerciais e também no transporte coletivo graças ao grande campo visual que esse tipo de espelho é capaz de propiciar.

• Resumindo

Espelhos convexos só produzem imagens virtuais (diretas) e reduzidas, independentemente da distância entre o objeto e o vértice do espelho

Fórmulas sobre espelhos esféricos

As fórmulas utilizadas para o estudo analítico de espelhos esféricos valem tanto para os espelhos côncavos como para os espelhos convexos. A principal diferença entre esse tipo de espelhos é o sinal algébrico que é atribuído ao foco (f).

Espelhos convexos, que apresentam foco virtual, apresentam foco negativo, enquanto os espelhos côncavos, cujos focos são reais, apresentam foco positivo. Além disso, é importante que se defina um referencial para a utilização de sinais algébricos, para tanto, utiliza-se o referencial de Gauss. De acordo com o referencial de Gauss:

• Qualquer objeto ou imagem que se encontra à frente da superfície refletora do espelho deverá receber sinal positivo.

• Qualquer objeto ou imagem que se encontra atrás da superfície refletora do espelho deverá receber sinal negativo.

• Qualquer objeto ou imagem que tenha orientação vertical para cima deverá receber sinal positivo.

• Qualquer objeto ou imagem que tenha orientação vertical para baixo deverá receber sinal negativo.

A figura a seguir traz um pequeno esquema para facilitar o entendimento dos sinais utilizados segundo o referencial de Gauss:

Denotamos pela letra p a posição dos objetos em relação ao vértice dos espelhos. A posição das imagens conjugadas pelos espelhos, por sua vez, é denotada pela letra p'. Em posse dessas afirmações, vamos às fórmulas.

Distância focal e raio de curvatura

Há uma fórmula válida para todos os espelhos esféricos que relaciona a distância focal ao raio de curvatura, confira:

f - distância focal

R - raio de curvatura

Equação dos pontos conjugados ou Equação de Gauss

A equação dos pontos conjugados relaciona a distância focal (f), a posição do objeto (p) e a posição da imagem (p'), ambas medidas em relação ao vértice do espelho, confira:

f - distância focal

p - posição do objeto

p' - posição da imagem

Equação do aumento linear transversal

Aumento linear transversal é a grandeza adimensional (sem unidade de medida) que mede a relação entre o tamanho do objeto e o de sua imagem conjugada por espelhos esféricos. Existem três formas diferentes de calcularmos o aumento linear transversal, confira:

A - aumento linear transversal

i - tamanho da imagem

o - tamanho do objeto

f - distância focal

Para entender melhor o significado do aumento linear transversal, confira alguns resultados possíveis e suas interpretações:

• A = 1: nesse caso, a imagem tem o mesmo tamanho do objeto e sua orientação é positiva (imagem virtual);

• A = -1: nesse caso, a imagem tem o mesmo tamanho do objeto, no entanto, é invertida (imagem real);

• A = + 0,5: imagem virtual (direita) com metade do tamanho do objeto;

• A = - 2,5: imagem real (invertida) com 2,5 vezes o tamanho do objeto.

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Exercícios resolvidos sobre espelhos esféricos

1) Um objeto é posicionado 50 cm à frente de um espelho côncavo, cuja distância focal é de 25 cm. Determine em qual posição forma-se a imagem desse objeto.

a) - 50 cm

b) +50 cm

c) + 25 cm

d) - 40 cm

e) + 75 cm

Gabarito: Letra B

Resolução:

Para resolvermos esse exercício, será necessária a equação de Gauss, observe os cálculos:

No cálculo anterior, buscamos calcular p', a posição da imagem. Para tanto, substituímos na equação da Gauss os dados do foco e da posição do objeto, resultando em uma posição de 50 cm à frente do espelho. Dessa forma, a alternativa correta é a letra B.

2) Um objeto de 10 cm de altura é colocado a 30 cm de um espelho convexo, cuja distância focal é -10 cm. Determine o tamanho da imagem conjugada por esse espelho.

a) - 5 cm

b) - 10 cm

c) - 25 cm

d) - 50 cm

e) - 100 cm

Gabarito: Letra A

Resolução:

Para resolvermos esse exercício, faremos uso da equação do aumento linear transversal, confira o cálculo a ser feito:

Para resolvermos esse exercício, recorremos a duas das três fórmulas utilizadas para o cálculo do aumento linear transversal, resultando em uma imagem de -5 cm. Isso indica que a imagem é reduzida em relação ao objeto e invertida, portanto, real.

3) É comum que se utilize espelhos côncavos em óticas, para que seja possível examinar detalhes das armações, graças à formação de imagens maiores que seus objetos. Para que um espelho côncavo possa formar imagens diretas e maiores do que seus objetos, é necessário posicionar o objeto

a) entre o foco e o centro de curvatura.

b) entre o vértice e o foco.

c) além do centro de curvatura.

d) além do foco.

e) sobre o foco.

Gabarito: Letra B

Resolução:

Há somente um caso em que os espelhos côncavos são capazes de conjugar imagens virtuais (diretas): quando algum objeto é posicionado próximo à sua superfície, em distâncias menores que a distância focal do espelho. Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Por Me. Rafael Helerbrock