Arcos com Mais de uma Volta

Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de acordo com a ilustração a seguir:

Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:

1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.
2º quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.

Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.

Exemplo 1
Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.

4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.

Exemplo 2
Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?

1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.


Arcos Côngruos

Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.

Exemplo 3
Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.

8390º – 6230º = 2160
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.

Exemplo 4
Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.

2010º – 900º = 1110º
1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola