Trinômio do Quadrado Perfeito

Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

O que é trinômio

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x² + 2x + 1

20x³ + 5x – 2x²

2ab +5b + 3c

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:

Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 5² = 25.
Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.

Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: a fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado² , então, como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A₁ = (x + y)²

O resultado dessa área A₁ = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2º forma: esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A₂ = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A₂ = x² +2xy + y²

O resultado da área A₂ = x² +2xy + y² é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A₁ = A₂
(x + y)² = x² +2xy + y²

Então, o trinômio x² +2xy + y² tem como quadrado perfeito (x + y)².

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².


Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x² + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m² – m n + n² , devemos tirar as raízes dos termos m² e n² , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y² , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a² – 6a.
Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:
9a² – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a² e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)².

Por Danielle de Miranda
Graduada em Metemática