Taxa de Variação da Função do 2º Grau

Uma importante aplicação da Matemática na Física é dada pela taxa de variação da função do 2º grau, que está ligada ao movimento uniformemente variado, isto é, as situações nas quais a velocidade varia de acordo com a aceleração. A função do 2º grau é dada pela expressão ax² + bx + c = 0 e a sua taxa de variação num intervalo (x, x+h), com x e x+h Є R e h ≠ 0, é dada pela expressão:

No caso da função do 2º grau temos:

f(x+h) = a(x+h)² + b(x+h) + c = a(x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c

Então:

f(x+h) – f(x) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c – (ax² + bx + c) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c = 2axh + ah² + bh

Assim, temos:

De acordo com a expressão acima, quando h se aproximar de zero, a taxa de variação se aproximará de 2ax + b. Dessa forma, podemos expressar essa situação através de um gráfico, que demonstra com clareza que a taxa de variação da função quadrática, quando h se aproxima de zero, é a inclinação da reta tangente à parábola y = ax² + bx + c no ponto (x₀, y₀).

A inclinação da reta tangente t no ponto (x₀,y₀) é dada por 2ax₀ + b.

Exemplo

Um movimento uniformemente variado é dado pala expressão f(t) = at² + bt + c, que fornece a posição de um objeto num certo tempo t. Na expressão, a é a aceleração, t é o tempo, b é a velocidade inicial e c é a posição inicial do objeto.

Para f(t) = at² + bt + c:

f(t+h) = a(t+h)² + b(t+h) + c = a(t² + 2th + h²) + bt + bh + c = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c

f(t+h) – f(t) = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c – at² – bt – c = 2ath + ah² + bh

Quando h se aproximar de zero, o valor da velocidade média se aproximará de 2at + b. Portanto, a expressão que determina a velocidade desse objeto a partir da expressão do espaço em função do tempo é:

v(t) = 2at + b

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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