Solução de Sistemas Lineares

Sistemas lineares consistem em um conjunto de equações lineares que possuem uma relação entre elas. Esta relação, por sua vez, ocorre pelo conjunto solução dessas equações. Quando escrevemos duas ou mais equações em um sistema linear, estamos afirmando que as soluções dessas equações devem ser iguais. Os valores que as incógnitas vão assumir para validar uma das equações devem ser os mesmos para as outras, ou seja, todas as equações desse sistema linear devem possuir o mesmo conjunto solução.

Portanto, dizemos que o conjunto (a₁, a₂, a₃, …, a_n) é conjunto solução de um sistema linear, se este for a solução de cada uma das equações do sistema linear. Vejamos um exemplo para que possamos compreender melhor toda essa teoria:

Temos um sistema com duas equações: na primeira equação podemos elencar diversos conjuntos soluções que satisfazem essa equação, entretanto devemos encontrar, dentre esses conjuntos, um que satisfaça também a segunda equação. Analisemos o conjunto solução (6,4):

• Na equação x + y = 10.  S = {(6,4)}, ou seja, x = 6 e y = 4.
6 + 4 = 10 (Igualdade verdadeira, esse conjunto solução satisfaz a primeira equação)

• Na equação 2x – y = 5   (x = 6 e y = 4)
Teremos: 2.6 – 4 = 5  -> 8 = 5  (Falso)

Esse conjunto solução não satisfaz a segunda equação, por isso não podemos afirmar que esse conjunto solução seja a solução do sistema linear.

Vejamos o conjunto solução (5,5). Nesse caso, ambas as equação serão satisfeitas com esse conjunto, sendo assim, esse é o conjunto solução do sistema linear (1).

Entretanto, note que, dependendo do sistema linear, a obtenção do conjunto solução se torna complicada, apenas com o cálculo mental das possíveis soluções de cada equação. Contudo, existem métodos aritméticos para solucionar um sistema linear, e muitos já foram estudados no ensino fundamental. (Adição, Substituição, Comparação)

Nem sempre será possível encontrar um conjunto solução que satisfaça, de fato, todas as equações de um determinado sistema. Diante desse impasse surgiu a necessidade de analisar as possibilidades quanto à obtenção do conjunto solução e com isso foi possível elencar 3 possibilidades para a classificação de um sistema linear segundo o seu conjunto solução. Este assunto é abordado no artigo Classificação de um Sistema Linear.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola.