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O método binomial é muito utilizado em situações nas quais ocorre o produto de probabilidades.
Vamos analisar um casal que deseja ter 4 filhos, e calcular a probabilidade de nascerem todos do mesmo sexo. Observe:
As possibilidades de se ter um menino ou uma menina são iguais, portanto:
p(M) = 1/2
p(F) = 1/2
1ª possibilidade – Todos os filhos meninos
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16
2ª possibilidade – Todos os filhos meninas
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16
Portanto, as possibilidades são iguais a 1/16 ou 6,25%.
Exemplo 1
Um casal deseja ter dois filhos e quer saber quais as possíveis possibilidades de nascer: (M,M), (MF), (FM), (FF). Considerando M para menino e F para menina.
Obs.: p(M) = p e p(F) = q
Possibilidade – dois Meninos
p(MM) = p(M) * p(M) = p * p = p² = (1/2)² = 1/4 = 25%
Possibilidade – um menino e uma menina
p(MF) = p(M) * p(F) = p * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Possibilidade – uma menina e um menino
p(FM) = p(F) * p(M) = q * p = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Possibilidade – duas meninas
p(FF) = p(F) * p(F) = q * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Não considerando a ordem dos nascimentos, podemos representar da seguinte forma:
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Exemplo 2
Vamos considerar o nascimento de três crianças, aproveitando a lógica do exemplo 1.
Resultados possíveis
{MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Considerando a ordem dos nascimentos temos:
p(MMM) = p(M) * p(M) * p(M) = p * p * p = p³
p(MMF) = p * p * q = p² * q
p(MFM) = p * q * p = p²q
p(FMM) = q * p * p = p²q
p(MFF) = p * q * q = pq²
p(FMF) = q * p * q = q²p
p(FFM) = q * q * p = pq²
p(FFF) = q * q * q = q³
Caso não consideremos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a:
MMM, MMF, MFF e FFF, as probabilidades serão as seguintes:
p(MMM) = p³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%
p(MMF) = 3p²q = 3 * (1/2)² * 1/2 = 3/8 = 37,5%
p(MFF) = 3pq² = 3 * 1/2 * (1/2)² = 3/8 = 37,5%
p(FFF) = q³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola