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Equações do 1º Grau equivalentes

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Ao resolvermos uma equação do 1º grau obtemos um resultado (esse resultado é um valor numérico que, substituindo a incógnita por ele, chegamos a uma igualdade numérica), esse pode ser chamado de raiz da equação ou conjunto verdade ou conjunto solução da equação. Veja o exemplo:

2x - 10 = 4 é uma equação do 1º grau.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
       2

S = 7

Portanto, 7 é o conjunto verdade da equação, solução ou raiz da equação 2x - 10 = 4.

Se substituirmos o x (incógnita) pela raiz, chegaremos a uma igualdade numérica, veja:

2 . 7 - 10 = 4
  14 – 10 = 4 
             4 = 4 é uma igualdade numérica, tiramos a prova real de que 7 é raiz da equação.

É através desse conjunto verdade que identificamos as equações equivalentes, pois quando o conjunto verdade de uma equação é igual ao conjunto verdade de outra equação dizemos que as duas são equações equivalentes. Assim, podemos definir equações equivalentes como:

Duas ou mais equações somente são equivalentes se o seu conjunto verdade for igual.

Veja um exemplo de equação equivalente:

Dada as equações 5x = 10 e x + 4 = 6. Para verificar se elas são equivalentes deve-se primeiro achar o conjunto verdade de cada uma.

5x = 10                     x + 4 = 6
x = 10 : 5                  x = 6 - 4
x = 2                         x = 2

As duas soluções são iguais, então podemos dizer que as equações 5x = 10 e x + 4 = 6 são equivalentes.

Se igualássemos as duas equações a zero elas ficariam assim:
5x = 10                  x + 4 = 6
5x – 10 = 0           x + 4 – 6 = 0
                               x – 2 = 0
Então, podemos dizer que: 5x – 10 = x – 2 e 5x = 10 e x + 4 = 6 são equivalentes, as duas formas de responder significam a mesma coisa.

Como de uma equação chegamos a uma equação equivalente a ela? Para isso precisamos utilizar os princípios da igualdade, esses princípios são utilizados tanto para encontrar equações equivalentes como para qualquer tipo de igualdade matemática.

Princípios da igualdade

Princípio aditivo da igualdade.
Esse princípio diz que em uma igualdade matemática se adicionarmos um mesmo valor aos dois membros de uma equação, obteremos uma equação equivalente à equação dada. Veja o exemplo:

Dada a equação 3x – 1 = 8. Se somarmos 5 aos dois membros da sua igualdade, teremos:

3x – 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 chegamos à outra equação.

Conforme o princípio aditivo da igualdade, as duas equações são equivalentes. Se acharmos as raízes das duas equações, perceberemos que são iguais, então afirmaremos o que esse princípio diz que as duas são equivalentes. Veja o cálculo das suas raízes:

3x – 1 = 8                     3x + 4 = 13
3x = 8 + 1                     3x = 13 - 4
3x = 9                           3x = 9
x = 9 : 3                          x = 9 : 3
x = 3                               x = 3

Princípio multiplicativo da igualdade.
Esse princípio diz que ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da igualdade pelo mesmo número, desde que esse seja diferente de zero, obteremos outra equação que será equivalente à equação dada. Veja o exemplo:

Dada a equação x – 1 = 2, uma das formas de achar uma equação equivalente a ela é utilizando o princípio multiplicativo da igualdade. Se multiplicarmos os dois membros dessa igualdade por 4, teremos:

4 . (x – 1) = 2 . 4
4x – 4 = 8 chegamos à outra equação que é equivalente à equação x – 1 = 2.

Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então, vamos calcular as raízes do exemplo acima, para verificarmos se realmente são equivalentes.

x – 1 = 2            4x – 4 = 8
x = 2 + 1            4x = 8 + 4
x = 3                   4x = 12
                              x = 12 : 4 
                              x = 3
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio multiplicativo da igualdade.

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Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Equação - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RAMOS, Danielle de Miranda. "Equações do 1º Grau equivalentes"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm. Acesso em 17 de agosto de 2022.

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