Equação linear

Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte forma geral:

a₁ x₁ + a₂x₂ +a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a₁, a₂, a₃, ... an são coeficientes das incógnitas x₁, x₂, x₃, ... , x_n e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear).
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será homogênea.

Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade
a₁ x₁ + a₂x₂ +a₃x₃ + ... + a_nx_n = b deve ser verdadeira.

Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação linear.

Exemplo:
Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.

-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11
0 + 1 + 10 = 11
11 = 11, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11

Notações importantes sobre a equação linear:
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução.
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução.

Exemplo:
Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação
3x + 5y – mz + t = 0

Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação:

3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0
3 + 10 + 3m + 5 = 0
13 + 3m + 5 = 0
3m + 18 = 0
3m = -18
m = -18 : 3
m = -6
Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática