Discussão e análise do sistema linear

Matemática

A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações; e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções.
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O sistema linear consiste na relação mútua entre duas ou mais equações, ou seja, equações que compartilham da mesma solução ou do mesmo conjunto solução. Com esse fato surgem as classificações quanto aos conjuntos, sendo elas: Sistema Possível Determinado (apenas uma solução), Sistema Possível Indeterminado (várias soluções), Sistema Impossível (nenhuma solução). Contudo, podemos nos deparar com equações cujos coeficientes sejam parâmetros desconhecidos, indeterminados. Sendo assim, através da discussão do sistema podemos analisar esses parâmetros e determinar para quais valores teremos Sistemas Possíveis Determinados, ou Possíveis Indeterminados ou Sistemas Impossíveis.

Existe um produto de matrizes que representa qualquer sistema linear; sendo assim, analisaremos e classificaremos o sistema linear de acordo com o determinante da matriz dos coeficientes das equações. Você deve estar se perguntando: “Como assim?”. Portanto, veja abaixo as matrizes que representam um sistema 2x2 (2 equações e 2 incógnitas).

Portanto, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes.

De acordo com o determinante D, teremos as seguintes situações:

Como foi dito, poderemos ter esses coeficientes em forma de uma incógnita, e através dessa incógnita determinar parâmetros para esse determinante. Vejamos um exemplo para que possamos compreender tais termos.

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1- Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k.

Temos que determinar o valor do determinante D e analisar os parâmetros. Portanto, temos que:

Assim, para obtermos um sistema possível e determinado basta termos um valor diferente de 6 para o coeficiente (m).

Contudo, caso m seja igual a 6 (m = 6), teremos D = 0, portanto devemos determinar qual será a classificação desse sistema (SPI ou SI).

Substituindo por 6, temos:

Escalonando esse sistema, obteremos:

Da equação (1) podemos obter duas possibilidades:

1) O valor de k satisfaz a equação (1), ou seja: para k=2 teremos 0=0, e com isso o sistema se reduz apenas à primeira equação, obtendo, assim, um Sistema Possível Indeterminado (SPI).

2) Caso o valor de k seja diferente de 2, teremos uma equação falsa, que nunca será satisfeita, como por exemplo (0 =1), caracterizando então um Sistema Impossível.

Sendo assim, discutindo o sistema temos as seguintes circunstâncias:


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Discussão e análise do sistema linear"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm. Acesso em 22 de setembro de 2020.