Classificando as soluções de um sistema linear escalonado

Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:

      • SPD – Sistema possível determinado; existe apenas um conjunto solução;
      • SPI – Sistema impossível indeterminado; existem inúmeros conjuntos solução;
      • SI – Sistema impossível; não é possível determinar um conjunto solução.

Entretanto, muitas das vezes só conseguimos classificar os sistemas quando estamos nas partes finais da resolução de cada um, ou ainda através do cálculo do determinante. Contudo, quando realizamos o escalonamento de um sistema linear, caminhamos a passos largos para a obtenção do conjunto solução e classificação do sistema linear.

Isso ocorre pois o sistema linear escalonado possui uma forma rápida de obtenção dos valores das incógnitas, uma vez que ele procura escrever cada equação com um número menor de incógnitas.

Para classificarmos o sistema linear que está escalonado, basta analisarmos dois elementos.

      1. A última linha do sistema que está completamente escalonado;
      2. A quantidade de incógnitas em comparação com a quantidade de equações dadas no sistema.


No primeiro caso, as seguintes situações podem ocorrer:

• Uma equação do primeiro grau com uma incógnita, o sistema será SPD. Exemplo: 2x=4; 3y=12; z=1

• Igualdade sem incógnitas: existem duas possibilidades, igualdades que sejam verdadeiras (0=0; 1=1;…) e igualdades falsas (1 = 0; 2 = 8). Quando tivermos igualdades verdadeiras, classificaremos nosso sistema como SPI, enquanto que com equações falsas o nosso sistema será impossível (SI).


• Equação com coeficiente nulo. Neste caso também existem duas possibilidades, uma na qual o termo independente é nulo e quando ele não é nulo.


• Quando tivermos uma equação de coeficientes nulos e termo independente nulo, classificaremos nosso sistema como SPI, pois teremos infinitos valores que irão satisfazer esta equação, veja só: 0.t = 0

Qualquer que seja o valor colocado na incógnita t, o resultado será zero, pois qualquer número multiplicado por zero é zero. Nesse caso, dizemos que a incógnita t é uma incógnita livre, pois pode assumir qualquer valor, portanto atribuímos a ela uma representação de um valor qualquer, que na matemática é feita através de uma letra.


• Quando tivermos uma equação de coeficientes nulos e termo independente diferente de zero, classificaremos nosso sistema como SI, pois para qualquer valor que t assuma, nunca será igual ao valor desejado. Veja um exemplo:

0.t = 5 

Qualquer que seja o valor de t, o resultado será sempre zero, ou seja, essa equação será sempre da forma (0 = 5), para qualquer que seja o valor da incógnita t. Por tal fato, dizemos que um sistema que possui uma equação dessa forma é um sistema sem solução, sistema impossível.

No segundo caso, quando o número de incógnitas é maior do que o número de equações, nunca iremos ter um sistema possível e determinado, restando-nos apenas as outras duas possibilidades. Possibilidades estas que podem ser obtidas ao realizarmos a comparação citada nos tópicos anteriores. Vejamos dois exemplos que abarcam estas possibilidades:

Note que nenhum dos sistemas foi escalonado.

Façamos o escalonamento do primeiro sistema.

Multiplicando a primeira equação e somando-a à segunda, teremos o seguinte sistema:

Analisando a última equação vemos que se trata de um sistema impossível, pois nunca podemos encontrar um valor que satisfaça a equação.

Escalonando o segundo sistema:

Observando a última equação, trata-se de um sistema possível indeterminado.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola