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Separamos para você 15 desafios matemáticos para estimular seu raciocínio e testar seu aprendizado. Veja se você está realmente afiado(a) em Matemática resolvendo os problemas propostos a seguir.
Veja também: 30 exercícios incríveis sobre raciocínio lógico
Tópicos deste artigo
15 desafios matemáticos para estimular o cérebro
→ Desafio matemático 1
Você está em um jogo de perguntas e tem três portas diante de você: atrás de uma delas há um carro, e atrás das outras duas, cabras. Você escolhe uma porta, digamos a Porta 1. O apresentador, que sabe o que está atrás de cada porta, abre uma das outras portas, digamos a Porta 3, revelando uma cabra. Ele então lhe pergunta: "Você quer mudar para a Porta 2?" Deveria você trocar de porta? Por quê?
Resposta:
Sim, você deveria trocar de porta.
Explicação:
Quando você escolhe inicialmente a Porta 1, há uma probabilidade de 1/3 de que o carro esteja atrás dela e 2/3 de que esteja atrás das outras duas portas. O apresentador sempre abre uma porta com uma cabra e isso não muda a probabilidade inicial da sua escolha (Porta 1 continua com 1/3 de chance).
As portas restantes (nesse caso, apenas a Porta 2) agora têm uma probabilidade combinada de 2/3 de conter o carro. Como a Porta 3 foi revelada como cabra, a probabilidade de a Porta 2 ter o carro é de 2/3.
Ou seja, ao trocar para a Porta 2, você aumenta suas chances de ganhar de 1/3 para 2/3.
→ Desafio matemático 2
Uma mulher tem três filhos, e suas idades multiplicadas geram um produto igual a 36. A soma das idades deles é igual ao número da casa ao lado. O vizinho olha o número, mas ainda não consegue determinar as idades. A mulher então diz: "Meu filho mais velho adora chocolate." Com essa informação, o vizinho consegue descobrir as idades. Quais são as idades dos filhos?
Resposta:
As idades dos filhos são 2, 2 e 9 anos.
Explicação:
Listando todas as combinações de números naturais cuja multiplicação seja 36, obtemos:
1 × 1 × 36 (soma 38)
1 × 2 × 18 (soma 21)
1 × 3 × 12 (soma 16)
1 × 4 × 9 (soma 14)
1 × 6 × 6 (soma 13)
2 × 2 × 9 (soma 13)
2 × 3 × 6 (soma 11)
3 × 3 × 4 (soma 10)
O vizinho olha o número da casa (que é a soma das idades) e ainda não consegue determinar as idades. Isso significa que a soma das idades não é única entre as combinações.
As somas que se repetem são iguais a 13 (1 + 6 + 6 e 2 + 2 + 9).
Quando a mulher diz que "o filho mais velho adora chocolate", indica que há um filho mais velho distinto (ou seja, não são todos da mesma idade).
Entre as combinações com soma 13, apenas 2, 2 e 9 têm um "filho mais velho" distinto. Portanto, as idades são 2, 2 e 9 anos.
→ Desafio matemático 3
Três amigos decidiram dividir igualmente o custo de um hotel que custa R$ 30,00 a diária. Cada um deu R$ 10,00 ao recepcionista. Mais tarde, o gerente percebeu que o quarto deveria custar apenas R$ 25,00 e deu R$ 5,00 ao mensageiro para devolver aos amigos. O mensageiro, porém, decidiu ser desonesto e entregou apenas R$ 1,00 para cada amigo, ficando com R$ 2,00 para si. Assim, cada amigo pagou R$ 9,00 (totalizando R$ 27,00), e o mensageiro ficou com R$ 2,00, somando R$ 29,00. Mas R$ 29,00 não é igual aos R$30,00 iniciais. Onde está o dinheiro que falta?
Resposta:
Não há dinheiro faltando; o erro está na forma como a soma foi apresentada.
Explicação:
O erro está em somar os R$ 2,00 do mensageiro aos R$ 27,00 pagos pelos amigos. Na verdade, os R$ 2,00 do mensageiro já estão incluídos nos R$ 27,00 (R$ 25,00 + R$ 2,00).
→ Desafio matemático 4
Maria tem o dobro da idade que João tinha quando Maria tinha a idade que João tem agora. A soma das idades atuais de Maria e João é 63 anos. Quantos anos têm Maria e João atualmente?
Resposta:
Maria tem 36 anos e João tem 27 anos.
Explicação:
Considere M a idade atual de Maria e J a idade atual de João. Sabemos que M + J = 63.
Vamos chamar de t o número de anos atrás quando Maria tinha a idade que João tem agora.
Então, há t anos, a idade de Maria era (M − t). Como a idade atual de João é J, conclui-se que J = M – t.
Sabemos também que há t anos a idade de João era (J – t) e que Maria tem atualmente o dobro da idade que João tinha naquele tempo. Portanto, M = 2.(J − t).
Na equação M = 2.(J − t) podemos substituir J por M – t.
\(M = 2\cdot (M – t – t)\)
\(M = 2\cdot (M –2 t)\)
\(M = 2M – 4t\)
\(M = 4t\)
Retomando que M + J = 63, temos que 4t + J = 63. Ou seja, J = 63 – 4t.
Como J = M – t, então 63 – 4t = 4t – t. Portanto, t = 9 anos.
Concluímos que:
\(M = 4\cdot t= 4\cdot 9 = 36\ anos\)
J = M – t = 36 – 9 = 27 anos
→ Desafio matemático 5
Três amigos, Ana, Bruno e Carlos, estão sentados em fila, um atrás do outro, de modo que Carlos vê Ana e Bruno, Bruno vê Ana, e Ana não vê ninguém. Há cinco chapéus disponíveis: três brancos e dois pretos. Cada um deles recebe um chapéu aleatoriamente, e os dois chapéus restantes são escondidos. Carlos é perguntado se sabe a cor de seu chapéu. Ele diz que não sabe. Bruno é perguntado se sabe a cor de seu chapéu. Ele também diz que não sabe. Ana, que não vê ninguém, é perguntada se sabe a cor de seu chapéu. Ela responde que sim. Qual é a cor do chapéu de Ana e como ela sabe?
Resposta:
O chapéu de Ana é branco.
Explicação:
Carlos vê os chapéus de Bruno e Ana.
Se ambos estivessem usando chapéus pretos, Carlos concluiria que o seu chapéu é branco (pois só existem dois chapéus pretos). Como Carlos não sabe a cor de seu chapéu, significa que ele viu pelo menos um chapéu branco entre Bruno e Ana.
Bruno sabe que Carlos não conseguiu determinar a cor de seu próprio chapéu e vê o chapéu de Ana. Se Ana estivesse usando um chapéu preto, Bruno concluiria que seu chapéu é branco (já que Carlos não viu dois chapéus pretos).
Como Bruno também não sabe a cor de seu chapéu, significa que Ana está usando um chapéu branco.
→ Desafio matemático 6
Dois relógios estão marcando a hora certa à meia-noite. Um deles atrasa um minuto por dia, e o outro adianta dois minutos por dia. Depois de quanto tempo os dois relógios voltarão a marcar a hora certa simultaneamente?
Resposta:
Após 720 dias.
Explicação:
Um relógio completo dá uma volta de 12 horas, que equivalem a 720 minutos.
- Relógio A (atrasa 1 minuto por dia): levará 720 dias para atrasar 12 horas completas.
- Relógio B (adianta 2 minutos por dia): levará 360 dias para adiantar 12 horas completas.
O MMC de 360 e 720 é 720. Isso significa que após 720 dias ambos os relógios terão completado um número inteiro de ciclos e voltarão a marcar a hora certa simultaneamente.
→ Desafio matemático 7
Em uma ilha, existem dois tipos de habitantes: os cavaleiros, que sempre dizem a verdade, e os escudeiros, que sempre mentem. Você encontra três habitantes: Alberto, Bernardo e Carlos.
Alberto diz: "Bernardo é um escudeiro."
Bernardo diz: "Alberto e Carlos são de tipos diferentes."
Carlos diz: "Eu sou um cavaleiro."
Qual é o tipo de cada um deles?
Resposta:
Alberto é um cavaleiro.
Bernardo é um escudeiro.
Carlos é um cavaleiro.
Explicação:
Carlos diz: "Eu sou um cavaleiro". Se Carlos fosse um escudeiro (que sempre mente), sua afirmação "Eu sou um cavaleiro" seria falsa, o que confirma que ele é um escudeiro. Isso é uma contradição, pois escudeiros não podem afirmar ser cavaleiros. Portanto, Carlos é um cavaleiro.
Bernardo diz: "Alberto e Carlos são de tipos diferentes". Já sabemos que Carlos é um cavaleiro. Se a afirmação de Bernardo for verdadeira, então Alberto é um escudeiro. Se a afirmação de Bernardo for falsa, então Alberto e Carlos são do mesmo tipo (ambos cavaleiros).
Suponha que Bernardo é um cavaleiro (que sempre diz a verdade). Então, sua afirmação "Alberto e Carlos são de tipos diferentes" seria verdadeira.
Sabemos que Carlos é um cavaleiro, então Alberto seria um escudeiro. Mas se Alberto é um escudeiro, sua afirmação "Bernardo é um escudeiro" seria uma mentira (já que escudeiros mentem), o que significaria que Bernardo é um cavaleiro, confirmando nossa suposição. No entanto, isso leva a uma contradição, pois Alberto (escudeiro) estaria dizendo que Bernardo é um escudeiro, o que é falso.
Alternativamente, suponha que Bernardo é um escudeiro (que sempre mente). Sua afirmação "Alberto e Carlos são de tipos diferentes" é falsa. Portanto, Alberto e Carlos são do mesmo tipo.
Sabemos que Carlos é um cavaleiro, logo Alberto também é um cavaleiro.
Alberto diz: "Bernardo é um escudeiro". Como Alberto é um cavaleiro, sua afirmação é verdadeira. Isso confirma que Bernardo é um escudeiro.
→ Desafio matemático 8
Você tem uma jarra de 8 litros cheia de água e duas jarras vazias, uma de 5 litros e outra de 3 litros. Como você pode dividir a água em duas partes iguais de 4 litros usando apenas essas jarras?
Explicação:
- Passo 1: Encher a jarra de 5 litros transferindo a água da jarra de 8 litros para a de 5 litros.
- Passo 2: Encher a jarra de 3 litros transferindo água da jarra de 5 litros.
- Passo 3: Despejar a jarra de 3 litros na jarra de 8 litros.
- Passo 4: Transferir os 2 litros restantes da jarra de 5 litros para a jarra de 3 litros.
- Passo 5: Encher novamente a jarra de 5 litros a partir da jarra de 8 litros.
- Passo 6: Completar a jarra de 3 litros a partir da jarra de 5 litros.
- Passo 7: Despejar a jarra de 3 litros na jarra de 8 litros.
Resultado final:
Agora você tem 4 litros na jarra de 8 litros, 4 litros na jarra de 5 litros e a jarra de 3 litros vazia. Ou seja, conseguimos dividir a água em duas partes iguais de 4 litros.
→ Desafio matemático 9
Você tem 9 moedas aparentemente idênticas, mas sabe que uma delas é falsa e pesa menos que as outras. Usando uma balança de dois pratos (sem pesos adicionais) apenas duas vezes, como você pode identificar a moeda falsa?
Explicação:
Divida as 9 moedas em três grupos de 3 moedas: Grupo A, Grupo B e Grupo C.
Pese o Grupo A contra o Grupo B. Se os pratos equilibram: a moeda falsa está no Grupo C. Se os pratos desequilibram: a moeda falsa está no prato que subir (mais leve).
- Caso 1 - Os pratos equilibram (moeda falsa no Grupo C):
Pese duas moedas do Grupo C uma contra a outra. Se equilibram: a moeda falsa é a terceira moeda que não foi pesada. Se desequilibram: A moeda mais leve é a moeda falsa.
- Caso 2 - Os pratos desequilibram (suponha que o Grupo A é mais leve).
A moeda falsa está no Grupo A. Pese duas moedas do Grupo A uma contra a outra. Se equilibram: a moeda falsa é a terceira moeda que não foi pesada. Se desequilibram: A moeda mais leve é a moeda falsa.
→ Desafio matemático 10
Quatro pessoas precisam atravessar uma ponte à noite. A ponte é estreita e só suporta no máximo duas pessoas por vez. Eles têm apenas uma lanterna, que deve ser carregada por alguém sempre que atravessam. Cada pessoa leva um tempo diferente para atravessar:
- Pessoa A: 1 minuto
- Pessoa B: 2 minutos
- Pessoa C: 7 minutos
- Pessoa D: 10 minutos
Quando duas pessoas atravessam juntas, elas andam na velocidade da mais lenta. Qual é o menor tempo necessário para que todos atravessem a ponte?
Resposta:
O menor tempo necessário para que todos atravessem a ponte é 17 minutos.
Explicação:
Utilizemos as pessoas mais rápidas (A e B) para auxiliar na travessia, reduzindo o tempo que a lanterna precisa voltar.
- Passo 1: A e B atravessam juntos com a lanterna.
- Tempo gasto: 2 minutos (velocidade de B).
- Pessoas do outro lado: A e B.
- Passo 2: A retorna com a lanterna.
- Tempo gasto: 1 minuto.
- Pessoas do lado inicial: A, C e D.
- Passo 3: C e D atravessam juntos com a lanterna.
- Tempo gasto: 10 minutos (velocidade de D).
- Pessoas do outro lado: B, C e D.
- Passo 4: B retorna com a lanterna.
- Tempo gasto: 2 minutos.
- Pessoas do lado inicial: A e B.
- Passo 5: A e B atravessam juntos novamente com a lanterna.
- Tempo gasto: 2 minutos.
- Todos estão agora do outro lado.
Cálculo do tempo total:
2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 minutos
→ Desafio matemático 11
Em uma sala fechada, há três interruptores do lado de fora e três lâmpadas dentro. Cada interruptor controla exatamente uma lâmpada, mas você não sabe qual interruptor corresponde a qual lâmpada. Você pode manipular os interruptores como quiser, mas pode entrar na sala apenas uma vez para verificar as lâmpadas. Como você determina qual interruptor controla cada lâmpada?
Explicação:
Precisamos criar um método que nos permita distinguir as lâmpadas com base em suas condições (ligada, desligada, quente, fria).
- Passo 1: Ligue o primeiro interruptor e deixe-o ligado por cerca de 5 minutos.
- Passo 2: Após os 5 minutos, desligue o primeiro interruptor.
- Passo 3: Ligue o segundo interruptor.
- Passo 4: Entre na sala.
- A lâmpada ligada será controlada pelo segundo interruptor (que está ligado).
- A lâmpada desligada e quente será controlada pelo primeiro interruptor (que estava ligado por 5 minutos e depois desligado).
- A lâmpada desligada e fria será controlada pelo terceiro interruptor (que não foi tocado).
→ Desafio matemático 12
Em uma família de cinco pessoas (pai, mãe e três filhos), a soma das idades de todos é 124 anos. O pai tem o dobro da idade da mãe. A mãe tem o dobro da idade do filho mais velho. O filho mais velho tem o dobro da idade do filho do meio. O filho do meio tem o dobro da idade do filho mais novo. Qual é a idade do filho mais novo?
Resposta:
O filho mais novo tem 4 anos.
Explicação:
Seja x a idade do filho mais novo.
- Filho do meio: 2x.
- Filho mais velho: \(2 \cdot (2x) = 4x\)
- Mãe: \(2 \cdot (4x) = 8x\)
- Pai: \(2 \cdot (8x) = 16x\)
Como a soma das idades é 124 anos, então:
x + 2x + 4x + 8x + 16x = 124
31x = 124
x = 4 anos
→ Desafio matemático 13
Ana tem 12 meias vermelhas e 12 meias brancas no armário. Na escuridão total, e sem olhar, quantas meias no mínimo ela deve pegar para ter certeza de que tem um par de meias da mesma cor?
Resposta:
3 meias.
Explicação:
Se ela pegar apenas 1 meia não há a possibilidade de formar um par. Se ela pegar 2 meias pode acontecer de serem de cores diferentes (uma vermelha e uma branca), não formando um par da mesma cor. Se ela pegar 3 meias as possibilidades de cores das meias são:
VVV (todas vermelhas)
VVB (duas vermelhas e uma branca)
VBB (uma vermelha e duas brancas)
BBB (todas brancas)
Em qualquer uma dessas combinações, sempre haverá pelo menos duas meias da mesma cor.
→ Desafio matemático 14
O problema das garrafas de água
Uma empresa enche garrafas de 0,5 litro com um tanque de 200 litros. Se 20% da água forem perdidos durante o processo de engarrafamento, quantas garrafas completas podem ser cheias?
Resposta:
A empresa pode encher 320 garrafas completas com a água restante.
Explicação:
20% de 200 litros são perdidos: 0,2 × 200 = 40 litros. Restam 200 – 40 = 160 litros.
Como cada garrafa contém 0,5 litro, com 160 litros restantes, o número de garrafas completas será 160 ÷ 0,5, ou seja, 320 garrafas.
Acesse também: 30 exercícios de matemática básica para testar seus conhecimentos
→ Desafio matemático 15
Um quinto de um quarto de um terço de um nono de 54.000 é a metade da quinta parte de x. Qual é o valor de x?
Resposta:
O valor de x é igual a 1.000.
Explicação:
Um nono de 54.000 é 54.000 ÷ 9, ou seja, 6.000.
Um terço de 6.000 é 6.000 ÷ 3, ou seja, 2.000.
Um quarto de 2.000 é 2.000 ÷ 4, ou seja, 500.
Um quinto de 500 é 500 ÷ 5, ou seja, 100.
Aplicando operação inversa, temos que \(x = 100 \cdot 2 \cdot 5 = 1.000\).