A hipotenusa é o nome dado para o maior lado de um triângulo retângulo. Ela se encontra sempre do lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo retângulo.
Existe uma relação importante entre a hipotenusa e os demais lados do triângulo retângulo, pois, para encontrar a medida da hipotenusa por meio da medida dos demais lados do triângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
Leia também: Qual é a classificação dos triângulos?
Resumo sobre hipotenusa
- A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo.
- A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo retângulo.
- Os outros dois lados do triângulo retângulo são conhecidos como catetos.
- O teorema de Pitágoras é uma relação entre a medida dos catetos e a hipotenusa.
- A fórmula do teorema de Pitágoras diz que:
c2 = a2 + b2
-
- c: hipotenusa.
- a e b: catetos.
O que é hipotenusa?
Hipotenusa é o nome dado ao maior lado de um triângulo retângulo. A hipotenusa sempre será o lado oposto ao ângulo de 90º. O estudo da hipotenusa é fundamental para cálculos envolvendo o triângulo retângulo, seja na engenharia, seja na geometria analítica ou mesmo na trigonometria.
Regra da hipotenusa
A regra da hipotenusa é o teorema de Pitágoras, uma relação importante entre a hipotenusa e os demais lados do triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras diz que:
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
A imagem a seguir evidencia isso:
Para saber mais sobre o teorema de Pitágoras, clique aqui.
Como se calcula a hipotenusa?
Para calcular a medida da hipotenusa do triângulo, conhecendo os catetos, basta substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver a equação. A seguir, veja os exemplos.
- Exemplo 1:
Um triângulo retângulo possui lados medindo 6 cm e 8 cm, então sua hipotenusa medirá:
Resolução:
Sabemos que a = 6 e que b = 8, então temos que:
c2 = a2 + b2
c2 = 62 + 82
c2 = 36 + 64
c2 = 100
c = \(\sqrt{100} \)
c = 10
Logo, a medida da hipotenusa desse triângulo é 10 cm.
- Exemplo 2:
Dado o triângulo retângulo a seguir, encontre o valor de x:
Resolução:
Aplicando a regra da hipotenusa, temos que:
x2 = 52 + 122
x2 = 25 + 144
x2 = 169
x = \(\sqrt{169} \)
x=13
Logo, a medida de x é 13 cm.
Cálculo dos catetos sabendo a hipotenusa
Outra aplicação interessante para o teorema de Pitágoras é quando conhecemos a medida da sua hipotenusa e de um dos catetos e não conhecemos a medida do outro cateto. Para resolver situações assim, o raciocínio é o mesmo de quando queremos encontrar o valor da hipotenusa, substituímos os valores conhecidos na fórmula e posteriormente resolvemos a equação.
- Exemplo 1:
Encontre o valor de x no triângulo a seguir:
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
172 = 82 + x2
289 = 64 + x2
289 - 64 = x2
225 = x2
x2 = 225
x = \(\sqrt{225} \)
x = 15 m
- Exemplo 2:
Um triângulo retângulo possui hipotenusa medindo 5 metros, e um dos seus catetos mede 3 metros, então a medida do outro cateto será:
Resolução:
Seja c = 5 e a = 3, então temos que:
c2 = a2 + b2
52 = 32 + b2
25 = 9 + b2
25 - 9 = b2
16 = b2
b2 = 16
b = \(\sqrt{16} \)
b = 4
A medida do outro cateto é de 4 metros.
Exercícios resolvidos sobre hipotenusa
Questão 1
Uma praça possui o formato retangular e suas dimensões são 25 metros por 60 metros. Qual será a distância percorrida por uma pessoa que atravessa a praça pela sua diagonal?
A) 45 metros
B) 55 metros
C) 65 metros
D) 75 metros
E) 80 metros
Resolução:
Alternativa C.
A diagonal da praça nada mais é do que a hipotenusa do triângulo retângulo, logo:
d2 = 252 + 602
d2 = 625 + 3600
d2 = 4225
d = \(\sqrt{4225} \)
d = 65 m
Questão 2
(IFG) Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.
Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:
A) 60 cm e 45 cm
B) 80 cm e 60 cm
C) 64 cm e 48 cm
D) 68 cm e 51 cm
Resolução:
Alternativa B.
Sabendo que a TV tem dimensões proporcionais a 3 e 4, então utilizaremos 3x e 4x para representar os catetos. Pelo teorema de Pitágoras, temos que:
402 = (3x)2 + (4x)2
1600 = 9x2 + 16x2
1600 = 25x2
64 = x2
x2 = 64
x = \(\sqrt{64} \)
x=8
Se x = 8, então as dimensões em polegada são:
3x = 3 ⋅ 8 = 24
4x = 4 ⋅ 8 = 32
Convertendo para cm, temos que:
32 ⋅ 2,5 = 80
24 ⋅ 2,5 = 60
Então, as dimensões são 80 cm e 60 cm.
Fontes
IEZZI, Gelson. Matemática: Conteúdo e Métodos. São Paulo: Atual Editora, 2008.
WAGNER, Eduardo. Teorema de Pitágoras e Áreas. OBMEP, 2009. Disponível em: https://www.obmep.org.br/docs/apostila3.pdf.