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Logaritmo

Matemática

Para calcularmos o logaritmo, utilizamos a seguinte formulação: loga b = x ↔ bx = a.
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Surgimento do Logaritmo

O logaritmo teve a sua origem no século XVII, no ano de 1614. O conceito foi criado por John Napier, o responsável pela elaboração da primeira tábua de logaritmo, que era uma tabela com números que apresentava o valor das mantissas (parte decimal do logaritmo). Outro estudioso muito importante para a formalização do logaritmo foi Joost Burgi. Ele desenvolveu os seus estudos paralelamente aos de Napier, mas divulgou os seus resultados tardiamente, pois somente em 1620 que publicou suas tábuas. Nessa época, as tábuas de Napier já estavam difundidas por todo o continente europeu.

A palavra logaritmo é formada pela junção das palavras gregas lógos e arithmós, que significam razão e número, respectivamente. A primeira vez que esse termo apareceu na língua portuguesa foi no livro Via Astronômica, no ano de 1677.

O logaritmo surgiu para facilitar os cálculos relacionados com a trigonometria. A ideia inicial era substituir contas mais elaboradas, como divisões por subtrações, multiplicação por soma, potenciação por multiplicação e radiciação por divisão (expoente fracionário).

O uso do logaritmo neperiano ou logaritmo natural apresentava algumas dificuldades relacionadas com a operacionalização dos cálculos. Isso porque utilizava como base 1/e, que é um número irracional e tem valor aproximado de 2,718... Houve, então, a necessidade de se ter uma base em que as operações com logaritmos fossem realizadas mais facilmente. Por esse motivo, Henry Briggs adaptou a base de logaritmos criada por Joost Burgi, tornando-a uma base decimal.

Formulação do logaritmo

O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação bem definida e estruturada, que é dada por:

Sejam a e b dois números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a > 0), denomina-se logaritmo de a na base b o expoente x (loga b = x ), sendo bx = a:

logb a = x ↔ bx = a

a = logaritmando
b = base do logarítmo
x = logaritmo

Exemplos de cálculos com logaritmos

Para entender melhor essa definição, vamos utilizá-la nos exemplos a seguir:

1) Encontre o valor dos logaritmos:

a) log3 9 = x

loga b = x → log3 9 = x
a = 3 = base
b = 9 = logaritmando
x = logaritmo

Como loga b = x ↔ bx = a, então:

log3 9 = x ↔ 3x = 9.

3x = 9 → Fatore o logaritmando 9. A fatoração é: 9 = 3 . 3 = 32

3X = 32 → Como a base é o número 3 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

x = 2.

Substituindo x por 2 no log, temos:

log3 9 = x → log3 9 = 2

b) log5 125 = x

loga b = x → log5 125 = x
a = 5 = base
b = 125 = logaritmando
x = logaritmo

Como loga b = x ↔ bx = a, então:

log5 125 = x ↔ 5x = 125.

5x = 125 → Fatore o logaritmando.

5X = 53 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

x = 3.

Substituindo x por 3 no log, temos:

log5 125 = x → log5 125 = 3

c) log25 (0,2) = x

loga b = x → log25 0,2 = x
a = 25 = base
b = 0,2 = 2: 2= 1 = logaritmando
             10: 2   5
x = logaritmo

Como loga b = x ↔ bx = a, então:

log25 0,2 = x ↔ 25 x = 0,2

log25 0,2 = x ↔ 25 x = 1 .
                                    5

25 x = 1 → fatore o 25 e revele o expoente de 1.
          5                                                                    5

(52) x = 5-1 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos igualar os expoentes para encontrar o valor de x.

2x = - 1

x = - 1
       2

Substituindo x por - 1 no log, temos:
                                   2

log25 0,2 = x ↔ log25 0,2 = - 1
                                               2


Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática

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