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Ângulos Notáveis

Matemática

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por causa da frequência com que surgem em problemas e da grande importância para a Trigonometria.
Na Trigonometria, ângulos notáveis são aqueles que aparecem com frequência
Na Trigonometria, ângulos notáveis são aqueles que aparecem com frequência
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O estudo da Trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. Em relação ao triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas, e alguns ângulos são usados com maior frequência. Eles recebem o nome de ângulos notáveis, e seus valores correspondem a 30º, 45º e 60º.

Relações trigonométricas

Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: o seno, o cosseno e a tangente.

 

Seno = cateto oposto
           hipotenusa

Cosseno = cateto adjacente
                hipotenusa

Tangente =   cateto oposto 
                      cateto adjacente  

Para demonstrar as relações trigonométricas em um triângulo retângulo com ângulos de 30°e 60°, é preciso obter uma figura como essa que tenha esses dois ângulos.

Valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°

Observe o triângulo equilátero (o qual possui todos os ângulos internos iguais a 60º) ABC, com lado igual a x. Traçar a altura desse triângulo é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Portanto, para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

Com o valor da altura em função de x, e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do quadrado para formar dois triângulos retângulos, já que a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90° em dois ângulos de 45°. Veja como:

Valores de seno e cosseno de 45°

Considere o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

 

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, descobriremos um valor para a diagonal (d) em função de x.

Assim, com o valor da diagonal, é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

 

Tabela de razões trigonométricas

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60° do triângulo retângulo. A partir desses cálculos efetuados, construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas:

 

Por Luiz Paulo
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Ângulos Notáveis"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-notaveis.htm>. Acesso em 17 de dezembro de 2017.

Questão 1

Um retângulo ABCD, com 10 centímetros de comprimento, foi dividido em duas partes por sua diagonal AC, conforme mostra a imagem a seguir. Sabendo que o ângulo CÂB = 30°, qual é o comprimento da diagonal do retângulo?

 

a) 11,3 cm

b) 12,6 cm

c) 13,9 cm

d) 15,2 cm

e) 16,5 cm

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