Termo geral da PA

O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar um termo qualquer de uma PA, indicado por a_n, quando seu primeiro termo (a₁), a razão (r) e o número de termos (n) que essa PA possui são conhecidos.

A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a seguinte:

a_n = a₁ + (n – 1)r
 

Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos termos da PA. Para isso, é preciso conhecer bem alguns elementos e características das progressões aritméticas, os quais serão discutidos brevemente a seguir.

Veja também: Soma dos termos de uma progressão aritmética
 

Tópicos deste artigo

• 1 - O que é uma PA?
• 2 - Encontrando a fórmula do termo geral da PA
• 3 - Exemplo

O que é uma PA?

Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo (número) é resultado da soma de seu antecessor com uma constante, chamada razão. Os termos de uma PA são indicados por índices, de modo que cada índice determina a posição de cada elemento da progressão. Veja um exemplo:
 

A = (a₁, a₂, a₃, … a_n)
 

Se a_n – a_{n – 1} = k para todo n, então, a sequência acima é uma progressão aritmética.

Veja também: Progressão Geométrica
 

Encontrando a fórmula do termo geral da PA

Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma constante, podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. Na progressão A = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … a_n), por exemplo, teremos:

a₁ = 1

a₂ = 1 + 2

a₃ = 1 + 2·2

a₄ = 1 + 2·3

a₅ = 1 + 2·4

a₆ = 1 + 2·5

a₇ = 1 + 2·6

…

a_n = 1 + 2·(n – 1)

Essa é a fórmula usada para encontrar qualquer termo, ou seja, o termo geral da PA dada como exemplo.

Sabendo que a_n representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, considere uma PA que possui n termos. Saiba que a₁ é o primeiro, a_n é o último e a razão é r.

Podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da seguinte maneira:
 

a₁ = a₁

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₁ + r + r = a₁ + 2r

a₄ = a₁ + r + r + r = a₁ + 3r

…

a_n = a₁ + r + r + r … + r = a₁ + r(n – 1)
 

Assim, reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último membro, teremos:
 

a_n = a₁ + (n – 1)r
 

Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética.

Exemplo

Qual é o centésimo termo da progressão aritmética a seguir:
 

(2, 4, 6, 8, …)
 

Trata-se da progressão aritmética formada por todos os números pares a partir de 2. Assim, o primeiro termo é 2, a razão é 2 e o número de termos é 100, pois queremos descobrir o centésimo termo. Veja:
 

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₁₀₀ = 2 + (100 – 1)2

a₁₀₀ = 2 + (99)2

a₁₀₀ = 2 + 198

a₁₀₀ = 200
 

Por Luis Paulo Silva
Graduado em Matemática