Sistema de Equações do 1° e do 2° Grau

Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.

No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:

1° Exemplo: 

Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:

2x – 4y = – 14
2x = 4y – 14
x = 4y – 14
     2
x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15
(2y – 7)·y = 15
2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = – b ± √Δ​
      2.a

y = – (– 7) ± √169
       2.2

y = 7 ± 13
     4

Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, ^{– 3}/₂).

2° Exemplo: 

Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)
0x² – 7y² = – 28
7y² = 28
y² = 28
       7
y = ±√4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:

Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).

3° Exemplo: 

Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda equação, vamos isolar x:

2x – 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
      2
x = 3y + 1
2

Substituiremos x na primeira equação:

x² + 2y² = 1
(^3y/₂ + 1)² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4                           

Multiplicaremos toda a equação por 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12 y = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = – b ± √Δ​
     2.a
y = – 12 ± √144
      2.17
y = – 12 ± 12
      34

Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x:

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (1, 0) e (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática